Householder 反射

形式陈述 ​

对非零向量 $v\in {\mathbb{F}}^m$，定义 Householder 反射

$$H=I-2\frac{v{v}^{\ast }}{v^{\ast }v}.$$

矩阵 $P_v=v{v}^{\ast }/(v^{\ast }v)$ 是到 $\mathrm{span}\{v\}$ 的正交投影公理库正交投影Orthogonal projection把向量映到子空间上最近点并使误差与子空间正交的线性算子。，满足 $P_v^{\ast }=P_v$ 与 $P_v^2=P_v$。因此

$$H^{\ast }=H,H^{\ast }H=H^2=I.$$

$H$ 在 $v$ 方向上乘以 $-1$，在 $v^{\perp }$ 上保持不变；实数情形是关于超平面 $v^{\perp }$ 的镜面反射，行列式为 $-1$。

给定 $x\ne 0$，令

$$\mathrm{phase}(x_1)=\{\begin{array}{ll}{x}_1/|x_1|,& x_1\ne 0,\\ 1,& x_1=0,\end{array}\alpha =-\mathrm{phase}(x_1)\Vert x{\Vert }_2,$$

并取 $v=x-\alpha e_1$，便有

$$Hx=\alpha e_1.$$

负相位选择使 $x_1$ 与 $-\alpha$ 同向相加，避免在构造 $v$ 时让两个接近的数相减。输入向量 $x$ 后，算法只需输出 $v$、$\alpha$ 和必要的缩放，而不必形成稠密 $H$。

对任意向量 $y$，可按

$$Hy=y-2v\frac{v^{\ast }y}{v^{\ast }v}$$

以 $\mathrm{\Theta }(m)$ 成本应用反射；对尾部矩阵则是一次秩一更新。完成准则是 $v^{\ast }v$ 有效、结果有限，并核对目标向量除首分量外已降到舍入尺度。显式构造 $m\times m$ 的 $H$ 再做矩阵乘法会把线性存储和秩一更新膨胀成不必要的稠密工作。

直觉 ​

Gram–Schmidt 一次去掉一个已有方向的分量，Householder 反射则选择一面镜子，让整根向量在一次变换后与坐标轴重合。镜子保持长度和夹角，所以在连续施加反射时，不会主动放大 $2$-范数误差；被“清零”的尾部也可以直接成为三角结构。

向量 $v$ 不是额外的大矩阵，而是这面镜子的法向。保存一串反射向量，就等于紧凑保存一个复杂正交变换；只有读者确实需要 $Q$ 的每个元素时，才值得把它们显式展开。

例子与边界 ​

对 $x=(3,4{)}^{\mathsf{T}}$，取 $\alpha =-5$ 和 $v=x-\alpha e_1=(8,4{)}^{\mathsf{T}}$，得到

$$H=\left(\begin{array}{cc}-3/5& -4/5\\ -4/5& 3/5\end{array}\right),Hx=\left(\begin{array}{c}-5\\ 0\end{array}\right).$$

反射保持 $\Vert x{\Vert }_2=5$，却一次消去了第二分量。若后续只需把 $H$ 作用到别的列，使用 $v$ 的秩一公式即可。

若 $x$ 已非常接近正的 $e_1$ 方向，却错误选择 $\alpha =+\Vert x{\Vert }_2$，则 $v=x-\alpha e_1$ 的首分量由两个近数相减得到，可能丢失大部分有效位；相反相位使其相加并保持可表示尺度。复数情形不能只取实数符号，还必须使用 $x_1$ 的相位，否则目标首分量与消去公式不一致。

反射不是任意旋转。实 Householder 矩阵的行列式为 $-1$，而纯旋转行列式为 $1$；两个反射的乘积才可能形成旋转。这个代数边界不妨碍它作为正交变换原语，却不能在几何描述中省略。

推论与应用 ​

QR 分解公理库QR 分解QR factorization · QR decomposition · Economy-size QR把长方矩阵分解为正交列与上三角因子，并区分经济型表示、数值算法和秩亏边界。逐列使用 Householder 反射，把每列对角线下方的整段向量清零。相同原语还用于 Hessenberg 化、双对角化与许多特征值、奇异值算法，因为酉变换既保留范数，又适合用紧凑向量实现。

Gram–Schmidt公理库Gram–Schmidt 正交化Gram–Schmidt process把有限线性无关组逐步转化为张成同一子空间的正交规范组。仍是理解正交化与张成空间保持的直接方法；对于稠密数值 QR，Householder 通常提供更可靠的正交性。两种方法解决同一精确结构目标，却拥有不同计算图和舍入路径。

参考资料

• Lloyd N. Trefethen and David Bau III, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, Lecture 10.
• Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations, 4th ed., Johns Hopkins University Press, 2013, §5.1.
• LAPACK Users’ Guide, QR Factorization.