形式陈述

设 $V$$V$ 为有限维内积空间，$W\le V$$W\le V$。则

$$ V=W\oplus W^\perp, $$$$V=W\oplus W^{\perp },$$

每个 $v$$v$ 唯一写成 $v=w+u$$v=w+u$，其中 $w\in W,u\in W^\perp$$w\in W,u\in W^{\perp }$。定义正交投影 $P_Wv=w$$P_{W}v=w$。它满足

$$ P_W^2=P_W, \qquad P_W^*=P_W, \qquad \operatorname{im}P_W=W, \qquad \ker P_W=W^\perp. $$$$P_W^2=P_W,P_W^{\ast }=P_W,\mathrm{im}{P}_W=W,\ker P_W=W^{\perp }.$$

若 $e_1,\ldots,e_k$$e_1,\dots ,e_k$ 是 $W$$W$ 的正交归一基，则

$$ P_Wv=\sum_{i=1}^k\langle e_i,v\rangle e_i $$$$P_{W}v=\sum _{i=1}^k⟨e_i,v⟩e_i$$

（按本库内积约定调整标量槽位）。$P_Wv$$P_{W}v$ 还是 $W$$W$ 中唯一最小化 $\|v-w\|$$\Vert v-w\Vert$ 的向量。

直觉

投影把向量分成“可由目标子空间解释的部分”和“与目标完全正交的残差”；最短距离点正是垂足。

例子与边界

在 $\mathbb R^2$${\mathbb{R}}^2$ 中投影到 $x$$x$ 轴把 $(a,b)$$(a,b)$ 送到 $(a,0)$$(a,0)$。投影到非零向量 $u$$u$ 张成的直线为 $P(v)=\frac{\langle u,v\rangle}{\langle u,u\rangle}u$$P(v)=\frac{⟨u,v⟩}{⟨u,u⟩}u$。任意幂等线性算子都是某个直和分解下的投影，但不一定是正交投影；正交投影还要求自伴。若基不正交，不能简单把坐标内积逐项相加，需使用 Gram 矩阵或先正交化。无限维内积空间中，只有对闭子空间的 Hilbert 空间投影才普遍存在；非闭子空间可能没有最近点。有限维子空间自动闭，因此本条无此障碍。

推论与应用

正交投影给出最小二乘解、条件期望的 Hilbert 空间解释、信号逼近和 QR 分解；残差正交条件是优化的一阶正规方程。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 6, orthogonal complements and projections。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 6, orthogonal projection and least squares。