Galerkin 方法 | Codeboy's Blog

形式陈述

离散问题

先在实 Hilbert 空间 $V$ 上讨论连续双线性型 $a:V\times V\to\mathbb R$ 与连续线性泛函 $\ell$ 。连续变分问题是求 $u\in V$ ，使

a(u,v)=\ell(v)\qquad(\forall v\in V).

其强方程、边界条件、双线性型与适定性由变分形式确定。Galerkin 离散选择有限维子空间 $V_h\subset V$ ，求 $u_h\in V_h$ 使

a(u_h,v_h)=\ell(v_h) \qquad(\forall v_h\in V_h).

取基 $\{\phi_j\}_{j=1}^N$ 并写 $u_h=\sum_jU_j\phi_j$ ，得到线性系统

AU=b,\qquad A_{ij}=a(\phi_j,\phi_i),\qquad b_i=\ell(\phi_i).

矩阵是否对称正定来自 $a$ 的结构以及试探、检验空间的选择，而不是来自“Galerkin”这个名称本身。若使用不同的有限维试探空间 $U_h$ 和检验空间 $W_h$ ，得到 Petrov–Galerkin 方法；矩阵可以非对称，稳定性通常由离散 inf–sup 条件而非强制性保证。

Galerkin 正交与 Céa 引理

连续解与离散解相减，立即得到

a(u-u_h,v_h)=0\qquad(\forall v_h\in V_h).

在上述实数设置中，若 $a$ 连续且强制，即

|a(w,v)|\le M\|w\|_V\|v\|_V, \qquad a(v,v)\ge\alpha\|v\|_V^2,

则对任意 $w_h\in V_h$ ，

\alpha\|u-u_h\|_V^2 \le a(u-u_h,u-w_h) \le M\|u-u_h\|_V\|u-w_h\|_V.

因此 Céa 引理给出

\|u-u_h\|_V \le\frac{M}{\alpha} \inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_V.

它把误差拆成空间的最佳逼近能力与连续问题的稳定常数。若 $a$ 还是对称的， $\|v\|_a=\sqrt{a(v,v)}$ 是能量范数， $u_h$ 是关于该内积的正交投影，能量范数中的常数可精确为 $1$ 。复 Hilbert 空间中的对应版本把 $a$ 写成连续半双线性型，并以 $\operatorname{Re}a(v,v)\ge\alpha\|v\|_V^2$ 表示强制性；采用一致的共轭线性约定后得到同一准最优估计。非对称、非强制或 nonconforming 方法不能直接套用正交投影结论。

直觉

Galerkin 方法只在有限多个检验方向上要求平衡。离散残差通常不会逐点为零，但它对整个离散检验空间为零。随着空间扩充，新增方向会检测此前不可见的残差分量；收敛既依赖空间能否逼近真实解，也依赖连续和离散问题是否稳定。

在实空间且 $a$ 对称强制时， $u_h$ 还是能量泛函

J(v)=\frac12a(v,v)-\ell(v)

在 $V_h$ 上的极小点。对流占优方程、鞍点系统或一般 Petrov–Galerkin 方法未必存在这种最小化解释，硬套能量图像会掩盖真正的 inf–sup 机制。

例子与边界

考虑

-u''(x)=x,\qquad0<x<1,\qquad u(0)=u(1)=0.

精确解为 $u(x)=(x-x^3)/6$ 。取

V_h=\operatorname{span}\{\phi\}, \qquad \phi(x)=x(1-x),

并令 $u_h=c\phi$ 。离散方程化为

c\int_0^1(\phi')^2\,dx=\int_0^1x\phi\,dx.

两项积分分别为 $1/3$ 与 $1/12$ ，所以 $c=1/4$ 。强残差 $x+u_h''=x-1/2$ 不逐点消失，但

\int_0^1(x+u_h'')\phi\,dx=0,

即残差对所选检验方向正交。具体有限元还会要求基函数由网格单元和局部自由度构造。

若连续纯 Neumann 问题有常数核，离散矩阵的奇异性会忠实继承这一不唯一性。对鞍点问题，连续空间满足稳定条件也不保证任意离散空间对稳定；若离散 inf–sup 常数趋于零，可能出现伪压力模态。

数值积分、几何近似和 nonconforming 接口会使计算双线性型 $a_h$ 不再等于 $a$ 。误差除最佳逼近外还含一致性项，通常由 Strang 型估计组织。只检查离散方程残差为零，无法发现积分规则或几何映射已经改变了所解问题。

推论与应用

有限元方法通过网格、局部多项式和自由度构造 $V_h$ ，是 Galerkin 框架的一种实现；谱方法可用全局基函数。“使用 Galerkin”不自动等同于“使用有限元”。

可复查的离散应报告 trial/test spaces、双线性型和右端泛函、连续与离散稳定条件、基函数以及误差范数。Céa 估计本身不给网格尺度阶；只有结合插值或其他逼近定理，才能得到 $h$ 的幂次。角点、界面或不连续系数造成的低正则性也会限制实际收敛阶。

参考资料

Gilbert Strang and George J. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, 2nd ed., Wellesley–Cambridge Press, 2008。
Susanne C. Brenner and L. Ridgway Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3rd ed., Springer, 2008。
Alexandre Ern and Jean-Luc Guermond, Theory and Practice of Finite Elements, Springer, 2004。

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