变分形式与弱问题

从强形式到弱形式 ​

以有界 Lipschitz 区域 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^d$ 上的 Poisson 问题为主线：

$$-\mathrm{\Delta }u=f\text{in }\mathrm{\Omega },u=0\text{on }\partial \mathrm{\Omega }.$$

强形式要求微分方程与边界条件具有逐点或经典迹意义。若先假设 $u$ 足够光滑，将方程乘以检验函数 $v$ 并分部积分，可得

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}(-\mathrm{\Delta }u)vdx={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }vdx-{\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}\frac{\partial u}{\partial n}vds.$$

取 $V=H_0^1(\mathrm{\Omega })$ 后，$v$ 在边界上的迹为零，边界项消失。弱问题写成：求 $u\in V$，使

$$a(u,v)=\ell (v)(\mathrm{\forall }v\in V),$$

其中

$$a(w,v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }w\cdot \mathrm{\nabla }vdx,\ell (v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}fvdx.$$

这个改写把二阶导数转移到一次弱导数公理库弱导数Weak derivative通过分部积分恒等式相对于测试函数定义的广义导数。上，因此允许 $u$ 只属于 $H_0^1(\mathrm{\Omega })$。“弱”描述正则性和检验方式，不表示数值精度较低。足够光滑的弱解仍满足强方程；具有相应边界条件的强解也满足弱形式。

边界条件进入哪里 ​

对

$$-\mathrm{\nabla }\cdot (\kappa \mathrm{\nabla }u)+cu=f$$

若边界分成 ${\mathrm{\Gamma }}_D$ 与 ${\mathrm{\Gamma }}_N$，并给定

$$u=g_D\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_D,\kappa \mathrm{\nabla }u\cdot n=g_N\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_N,$$

则试探集合和检验空间分别为

$$U_{g_D}=\{w\in H^1(\mathrm{\Omega }):\mathrm{tr}w=g_D\text{ on }{\mathrm{\Gamma }}_D\},V=\{v\in H^1(\mathrm{\Omega }):\mathrm{tr}v=0\text{ on }{\mathrm{\Gamma }}_D\}.$$

双线性型与右端为

$$a(w,v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}\kappa \mathrm{\nabla }w\cdot \mathrm{\nabla }vdx+{\int }_{\mathrm{\Omega }}cwvdx,$$$$\ell (v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}fvdx+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_N}{g}_{N}vds.$$

Dirichlet 条件限制可容许试探函数，通常称 essential boundary condition；Neumann 数据经分部积分自然进入右端，因此称 natural boundary condition。非齐次 Dirichlet 情形中 $U_{g_D}$ 是仿射集合而 $V$ 是线性空间，trial 与 test 不能不加条件地视为同一对象。

要放入标准适定性框架，还需说明数据和系数条件。例如可要求 ${\mathrm{\Gamma }}_D$ 具有正表面测度，$g_D$ 是某个 $H^1$ 函数的可容许迹，并且

$$0<{\kappa }_0\le \kappa (x)\le {\kappa }_1<\mathrm{\infty },0\le c(x)\le c_1<\mathrm{\infty }.$$

先选 lifting $G\in H^1(\mathrm{\Omega })$ 满足 $\mathrm{tr}G=g_D$，再写 $u=G+w$，就把未知量 $w$ 放回齐次空间 $V$。若 ${\mathrm{\Gamma }}_D$ 为空、系数变号或数据没有所需迹，这条论证不能原样使用。

抽象适定性 ​

设 $V$ 是 Hilbert 空间，双线性型 $a:V\times V\to \mathbb{R}$ 满足连续性与强制性：

$$|a(w,v)|\le M\Vert w{\Vert }_V\Vert v{\Vert }_V,a(v,v)\ge \alpha \Vert v{\Vert }_V^2,\alpha >0.$$

若线性泛函 $\ell$ 连续，Lax–Milgram 定理保证弱问题存在唯一解，并有

$$\Vert u{\Vert }_V\le \frac{1}{\alpha }\Vert \ell {\Vert }_{V^{\prime }}.$$

齐次 Dirichlet Poisson 问题中，Cauchy–Schwarz 给出连续性，Poincaré 不等式使 $\Vert \mathrm{\nabla }v{\Vert }_{L^2}$ 控制 $H^1$ 范数，从而得到强制性。纯 Neumann Poisson 问题保留常数核；只有右端满足兼容条件后，才能在零均值子空间或模去常数的商空间中恢复唯一性。

直觉 ​

强形式在每个位置读取微分方程，弱形式则询问方程对所有允许检验方向是否平衡。分部积分把一个导数转移给检验函数，也把边界通量显式暴露出来。这个过程不是把方程含糊化，而是把内部平衡、边界条件和允许正则性放进同一个可检验陈述。

能量最小化只适用于对称强制问题。此时

$$J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-\ell (v)$$

的唯一极小点是弱解。对流占优方程、鞍点系统或一般非对称问题未必存在这种图像；此时真正控制适定性的可能是 inf–sup 条件。

例子与边界 ​

纯 Neumann 问题中，常数函数使 $a(v,v)=0$。这不是离散矩阵装配错误，而是连续问题本来只在模去常数后唯一。必须先检查总源项与边界通量的兼容条件，再决定固定均值还是使用商空间。

弱形式也不是唯一的。不同分部积分次数、边界数据处理或试探—检验空间会产生不同 formulation；声称两者等价时必须核对正则性与边界项。连续问题适定也不保证任意离散空间稳定，后续离散由Galerkin 方法公理库Galerkin 方法Galerkin method · Galerkin discretization · 变分形式与 Galerkin 方法在有限维试探与检验空间中离散连续变分问题，并用 Galerkin 正交、Céa 准最优性及稳定条件组织误差。单独处理。

参考资料

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., AMS, 2010，weak formulations and Sobolev spaces。
• Susanne C. Brenner and L. Ridgway Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3rd ed., Springer, 2008，variational problems。