形式陈述
从强形式到弱形式
设整数 d ≥ 1 Ω ⊂ R d 偏微分方程 理路 偏微分方程 Partial differential equation · PDE 含未知多元函数及其偏导数的方程。
− Δ u = f in Ω , u = 0 on ∂ Ω . 强形式要求微分方程与边界条件具有逐点或经典迹意义。先取在 Ω ― u ∈ C 2 v ∈ C 1 C 1 v ∇ u 散度定理的 Lipschitz 区域版本 理路 散度定理 Divergence theorem · Gauss theorem · Gauss–Ostrogradsky theorem 区域内部散度的体积分等于其边界上向外法向通量的积分。 ∇ ⋅ ( v ∇ u ) = ∇ v ⋅ ∇ u + v Δ u
∫ Ω ( − Δ u ) v d x = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d x − ∫ ∂ Ω ∂ u ∂ n v d s . 在Sobolev 空间 理路 Sobolev 空间 Sobolev space 同时控制函数与弱导数的可积性，在一维中建立端点迹与能量空间，证明二分之一 Hölder 估计和点值泛函的精确范数，并说明高维边界。 V = H 0 1 ( Ω ) v u ∈ V
a ( u , v ) = ℓ ( v ) ( ∀ v ∈ V ) , 其中
a ( w , v ) = ∫ Ω ∇ w ⋅ ∇ v d x , ℓ ( v ) = ∫ Ω f v d x . 这个改写把二阶导数转移到一次弱导数 理路 弱导数 Weak derivative 通过分部积分恒等式相对于测试函数定义的广义导数。 u H 0 1 ( Ω )
边界条件进入哪里
对
− ∇ ⋅ ( κ ∇ u ) + c u = f 若边界分成两个可测部分 Γ D Γ N
u = g D on Γ D , κ ∇ u ⋅ n = g N on Γ N , 则试探集合和检验空间分别为
U g D = { w ∈ H 1 ( Ω ) : tr w = g D on Γ D } , V = { v ∈ H 1 ( Ω ) : tr v = 0 on Γ D } . 双线性型与右端为
a ( w , v ) = ∫ Ω κ ∇ w ⋅ ∇ v d x + ∫ Ω c w v d x , ℓ ( v ) = ∫ Ω f v d x + ∫ Γ N g N v d s . Dirichlet 条件限制可容许试探函数，通常称 essential boundary condition；Neumann 数据经分部积分自然进入右端，因此称 natural boundary condition。非齐次 Dirichlet 情形中 U g D V
若经典超调和解满足 Δ u ≤ 0 − Δ u = f ≥ 0 C 1 − u Hopf 引理 理路 Hopf 边界点引理 Hopf boundary point lemma · Boundary point lemma 在内切球接触的边界最大点，严格低于该最大值的次调和函数具有严格正的外法向导数。
要放入标准适定性框架，还需说明数据和系数条件。例如在有界连通 Lipschitz 区域上，可要求 Γ D g D H 1 κ , c
0 < κ 0 ≤ κ ( x ) ≤ κ 1 < ∞ , 0 ≤ c ( x ) ≤ c 1 < ∞ . 这些条件使齐次空间满足相应 Poincaré 不等式；若区域不连通，则每个没有反应项控制的连通分量都需要自己的 Dirichlet 约束。右端还需是 V f ∈ L 2 ( Ω ) g N ∈ L 2 ( Γ N )
先选 lifting G ∈ H 1 ( Ω ) tr G = g D u = G + w w V a ( w , v ) = ℓ ( v ) − a ( G , v ) Γ D
抽象适定性
设 V Hilbert 空间 理路 Hilbert 空间 Hilbert space 关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。 双线性型 理路 双线性映射与形式 Bilinear map · Bilinear form 对两个向量变量分别线性的映射；值域为标量域时称双线性形式。 a : V × V → R
| a ( w , v ) | ≤ M ‖ w ‖ V ‖ v ‖ V , a ( v , v ) ≥ α ‖ v ‖ V 2 , α > 0. 连续性还意味着固定 w ∈ V v ↦ a ( w , v ) V 有界线性算子 理路 有界线性算子 Bounded linear operator 把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。 ℓ
‖ u ‖ V ≤ 1 α ‖ ℓ ‖ V ′ . 齐次 Dirichlet Poisson 问题中，Cauchy–Schwarz 不等式 理路 Cauchy–Schwarz 不等式 Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式 内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。 ‖ ∇ v ‖ L 2 H 1
Lax–Milgram 为什么成立
将“对每个检验函数成立”的无限多个等式转换为一个 Hilbert 空间中的算子方程。由Riesz 表示定理 理路 Hilbert 空间 Riesz 表示定理 Riesz representation theorem for Hilbert spaces Hilbert 空间上的每个连续线性泛函都唯一由与某向量取内积表示。 T w ∈ V b ∈ V
( T w , v ) V = a ( w , v ) , ( b , v ) V = ℓ ( v ) . 表示的唯一性使 T ‖ T w ‖ V ≤ M ‖ w ‖ V
α ‖ w ‖ V 2 ≤ ( T w , w ) V ≤ ‖ T w ‖ V ‖ w ‖ V , ‖ T w ‖ V ≥ α ‖ w ‖ V . 因此 T T w n w n w n → w T w n → T w
还需排除值域遗漏某个方向。若 y ran T T y
0 = ( T y , y ) V = a ( y , y ) ≥ α ‖ y ‖ V 2 , 所以 y = 0 ran T Hilbert 投影定理 理路 Hilbert 空间投影定理 Hilbert projection theorem · Projection theorem Hilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。 V = ran T ⊕ ( ran T ) ⊥ ran T = V T u = b v = u
α ‖ u ‖ V 2 ≤ ℓ ( u ) ≤ ‖ ℓ ‖ V ′ ‖ u ‖ V , 得到所述解估计。整个证明没有用到 a
例子与边界 在区间上逐项验证适定性
取 V = H 0 1 ( 0 , 1 ) ‖ v ‖ V = ‖ v ′ ‖ 2 a ( w , v ) = ∫ 0 1 w ′ v ′ M = α = 1 f ∈ L 2 ( 0 , 1 )
| ℓ ( v ) | = | ∫ 0 1 f v | ≤ ‖ f ‖ 2 ‖ v ‖ 2 ≤ 1 2 ‖ f ‖ 2 ‖ v ‖ V . 故唯一弱解满足 ‖ u ′ ‖ 2 ≤ ‖ f ‖ 2 / 2 f = 1 − u ″ = 1
u ( x ) = x ( 1 − x ) 2 , ‖ u ′ ‖ 2 = 1 12 . 这个显式解既核对弱方程，也说明适定性上界无须等于精确范数。
纯 Neumann 条件的符号与兼容性
考虑没有反应项的 − ∇ ⋅ ( κ ∇ u ) = f 外向 导数通量 g = κ ∇ u ⋅ n 1 v = 1
0 = ∫ Ω f d x + ∫ ∂ Ω g d s . 兼容条件中的加号来自弱形式右端的边界项；如果将物理通量定义为 − κ ∇ u
在一维、κ = 1 u ′ ( 0 ) = q 0 u ′ ( 1 ) = q 1 − 1 1 g ( 0 ) = − q 0 g ( 1 ) = q 1
∫ 0 1 f ( x ) d x = q 0 − q 1 . 零源项、零通量允许任意常数解；f = 1
弱解与正则性
Lax–Milgram 给出的是所选空间中的解，并不自动把它升级为 H 2 u ″ = − f ∈ L 2 H 2 椭圆内部正则性 理路 椭圆内部正则性 Interior elliptic regularity · 椭圆方程内部H2正则性 对平方可积右端的Laplace弱方程，用能量截断和Fourier逆乘子证明内部二阶正则性，并以凹角奇性区分内部估计与全局边界估计。 H 2
弱形式也不是唯一的。不同分部积分次数、边界数据处理或试探—检验空间会产生不同 formulation；声称两者等价时必须核对正则性与边界项。
