形式陈述

设 $\Omega\subseteq\mathbb R^n$$\mathrm{\Omega }\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 开，$k\in\mathbb N_0$$k\in {\mathbb{N}}_0$，$1\le p\le\infty$$1\le p\le \mathrm{\infty }$。Sobolev 空间定义为

$$ W^{k,p}(\Omega) =\{u\in L^p(\Omega):D^\alpha u\in L^p(\Omega)\text{ 对所有 }|\alpha|\le k\}, $$$$W^{k,p}(\mathrm{\Omega })=\{u\in L^p(\mathrm{\Omega }):D^{\alpha }u\in L^p(\mathrm{\Omega })\text{ 对所有 }|\alpha |\le k\},$$

其中导数按弱意义理解，函数按几乎处处相等取商。对 $p<\infty$$p<\mathrm{\infty }$ 可取范数

$$ \|u\|_{W^{k,p}} =\left(\sum_{|\alpha|\le k}\|D^\alpha u\|_p^p\right)^{1/p}, $$$$\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}}={(\sum _{|\alpha |\le k}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_p^p)}^{1/p},$$

$p=\infty$$p=\mathrm{\infty }$ 时取最大值。$W^{k,p}$$W^{k,p}$ 是 Banach 空间；$W^{k,2}$$W^{k,2}$ 是 Hilbert 空间，常记 $H^k$$H^k$。

直觉

Sobolev 范数同时衡量函数本身和若干阶平均导数，把“具有多少可积的平滑性”量化为完备函数空间。

例子与边界

$|x|\in W^{1,p}((-1,1))$$|x|\in W^{1,p}((-1,1))$ 对所有 $1\le p\le\infty$$1\le p\le \mathrm{\infty }$ 成立。阶跃函数不属于 $W^{1,p}$$W^{1,p}$，因为其导数含 Dirac 质量。Sobolev 函数不必有逐点连续代表：是否嵌入连续函数空间取决于维数、阶数和 $p$$p$，典型阈值是 $kp>n$$kp>n$。$W_0^{1,p}$$W_0^{1,p}$ 是 $C_c^\infty(\Omega)$$C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ 在 $W^{1,p}$$W^{1,p}$ 中的闭包，并非简单地“边界值逐点为零”；边界不规则时需用迹理论解释。$p<1$$p<1$ 时表达式不再给 Banach 范数，不属于本条标准范围。

推论与应用

Sobolev 空间是椭圆/抛物 PDE 弱解的自然状态空间；嵌入、紧性和迹定理把积分正则性转化为连续性、边界值和解序列收敛。

参考资料

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010，Ch. 5, Sobolev spaces, approximation and embeddings。
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011，Chs. 8–9, Sobolev spaces and variational PDE。