几乎处处

“几乎处处”按测度衡量例外，而不是数例外点的个数。零测集可以稠密，如实数中的有理数集，也可以不可数，如标准 Cantor 集。对于可测函数，修改这些点上的值不改变 Lebesgue 积分，因此积分自然把几乎处处相等的函数视为同一对象。

这也解释了为什么要指定测度：测度决定哪些集合为零。Lebesgue 测度衡量长度，Dirac 测度则把全部质量放在一个点上，它们保留的信息不同。

在 Lebesgue 测度下，有理数集 $\mathbb{Q}$ 可数，每个单点测度为零，由可数可加性 $\lambda (\mathbb{Q})\le \sum 0=0$，故 Dirichlet 函数满足 $1_{\mathbb{Q}}=0$ a.e.，尽管两个函数在一个稠密集上取值不同；相应地二者的 Lebesgue 积分理路Lebesgue 积分Lebesgue integral从简单函数积分出发，按单调逼近定义非负、扩展值与可积函数的积分。相等。零测集不必可数：Cantor 集不可数，Lebesgue 测度仍为零。

"几乎"取决于测度的选取。对 Dirac 测度 ${\delta }_0$ 而言，$\mathbb{R}\setminus \{0\}$ 是零测集，于是"几乎处处"意味着"在 $0$ 这一点"，与 Lebesgue 测度的视角完全颠倒。概率语境中"几乎必然"也不等于逻辑必然：在 $[0,1]$ 上均匀取点，"取到无理数"几乎必然发生，但取到某个有理数并非不可能，只是概率为零。

零测集的可数并仍为零，所以可数个几乎处处成立的性质能在同一个零集之外同时成立。不可数族则可能积累出整个空间的例外：在 $[0,1]$ 上令 $P_t(x)$ 表示 $x\ne t$。每个固定 $t$ 只有一个失败点，故 $P_t$ 几乎处处成立；但对任意 $x$，取 $t=x$ 就使性质失败，所以没有一点满足全部 $P_t$。连续参数问题常借助可数稠密集与连续性，把可数个结论扩展到全部参数。

构造Lᵖ 空间理路L^p 空间L-p space · Lebesgue space按几乎处处相等取商的积分范数空间；从尖峰和完备性走到共轭指数的对偶表示，并证明有限测度下的反身性。时，把 a.e. 相等的函数归为同一个元素。对 $1\le p<\mathrm{\infty }$，$\int |f{|}^p=0$ 恰好表示 $f=0$ a.e.，所以取商后的范数满足“范数为零当且仅当元素为零”。

单调收敛定理理路单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。与控制收敛定理理路控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。允许在零集之外验证相应条件；Radon–Nikodym 密度理路Radon–Nikodym 定理Radon–Nikodym theorem在标准 σ-有限条件下，把绝对连续测度表示为参考测度的积分密度。也在 a.e. 意义下唯一。概率中的几乎必然收敛理路几乎必然收敛Almost sure convergence除去一个零概率事件后，随机变量序列逐样本收敛。则要求存在一个概率为一的样本集合，使其上的每条样本序列都收敛。