形式陈述

在测度空间 $(X,\mathcal A,\mu)$$(X,\mathcal{A},\mu )$ 中，性质 $P(x)$$P(x)$ 称几乎处处成立，若存在可测零测集 $N\in\mathcal A$$N\in \mathcal{A}$，$\mu(N)=0$$\mu (N)=0$，使 $P(x)$$P(x)$ 对所有 $x\in X\setminus N$$x\in X\setminus N$ 成立。函数 $f,g$$f,g$ 几乎处处相等，记作 $f=g$$f=g$ a.e，若 $\mu(\{x:f(x)\ne g(x)\})=0$$\mu (\{x:f(x)\ne g(x)\})=0$；在未完备空间中，更稳妥的表述是失败集合包含于某个可测零集。

直觉

测度论把零测集视为对积分和概率没有贡献的例外。几乎处处不是“例外很少”的基数说法，而是“例外的测度为零”。

例子与边界

在 Lebesgue 测度下，有理数集可数且测度为零，所以 $1_{\mathbb Q}=0$$1_{\mathbb{Q}}=0$ a.e，尽管两函数在稠密集合上不同。零测集可以不可数，例如 Cantor 集；反之一个集合可以基数很小却在别的测度下有正测度，如 Dirac 测度下单点测度为一。在概率空间中“几乎必然”就是相对于概率测度的 a.e.；它不等于逻辑必然，也不保证每个样本都成立。

推论与应用

几乎处处等价使 $L^p$$L^p$ 空间成为真正的函数等价类空间，并允许收敛定理忽略零测例外；概率论中的路径性质也通常以几乎必然形式陈述。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，Chs. 1–2, null sets and almost-everywhere statements。
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987，Ch. 1, null sets, completion, and equality almost everywhere。