单调收敛定理

Lebesgue 积分度量函数图像下方累积的"质量"，而该定理断言：质量只增不减时，"先取极限再积分"与"先积分再取极限"看到的是同一份总量。关键在两个条件的配合。非负性排除了正负抵消——若允许负值，函数列可以在远处埋下无限多负质量，让每一项的积分都被拖到 $-\mathrm{\infty }$，而点态极限却毫无察觉。单调性则排除了"质量逃逸"——一个固定大小的鼓包滑向无穷远处，点态极限是零，但每次积分都还看到那个鼓包。从下方逐层垫高的逼近两种毛病都犯不了：新增的质量永远留在原地被积分如实记录。它可以看作测度"从下连续"（$\mu (A_n)\uparrow \mu (A)$ 当 $A_n\uparrow A$）在函数层面的推广，也是 Lebesgue 积分优于 Riemann 积分的第一个标志性体现：不需要一致收敛就能交换极限与积分。

正例：取 $f_n={\mathbf{1}}_{[0,n]}$ 于 $(\mathbb{R},\text{Lebesgue})$，则 $f_n\uparrow {\mathbf{1}}_{[0,\mathrm{\infty })}$。每个 $\int f_{n}d\mu =n$，极限为 $+\mathrm{\infty }$，与 $\int {\mathbf{1}}_{[0,\mathrm{\infty })}d\mu =+\mathrm{\infty }$ 一致。对任意非负可测 $f:\mathbb{R}\to [0,\mathrm{\infty }]$，截断 $f_n(x)=min(f(x),n){\mathbf{1}}_{[-n,n]}(x)$ 也单调上升到 $f$，因此可先计算截断函数的积分再取极限。

单调性不可去。滑动鼓包 $f_n={\mathbf{1}}_{[n,n+1]}$ 点态收敛到 $0$，但 $\int f_{n}d\mu =1$ 对每个 $n$ 成立：极限的积分是 $0$，积分的极限是 $1$。非负性（或某种下方控制）同样不可去：令 $f_n=-{\mathbf{1}}_{[n,\mathrm{\infty })}$，则 $f_n$ 单调递增（从 $-1$ 升到 $0$）且点态收敛到 $0$，可每个 $f_n$ 的积分都是 $-\mathrm{\infty }$，等式破产。一般地，若存在可积函数 $g$ 使 $f_n\ge g$ 且 $f_n\uparrow f$，对非负列 $f_n-g$ 应用定理即可恢复结论——需要的不是非负本身，而是"下方不漏无穷质量"。

递减方向没有免费的对称版本：取 $f_n={\mathbf{1}}_{[n,\mathrm{\infty })}$ 于 Lebesgue 测度，$f_n\downarrow 0$ 但每个积分都是 $+\mathrm{\infty }$，极限交换失败；只有当某一项（从而其后各项）积分有限时，递减版本才成立。最后提醒一个命名冲突：实数序列还有一条单调有界序列收敛定理公理库单调有界序列收敛定理Monotone convergence theorem for sequences每个单调且有界的实数序列都收敛。，说的是单调有界数列必收敛，与本定理对象不同。

在测度论内部，这条定理是收敛定理链的起点：由它立得 Fatou 引理公理库Fatou 引理Fatou's lemma非负可测函数列下极限的积分不超过积分的下极限。，再由 Fatou 引理导出控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。，三者构成交换极限与积分的完整工具箱。它还赋予积分"可数线性"：对非负可测函数列，

对部分和应用定理即得，这是逐项积分与 Tonelli 定理公理库Tonelli 定理Tonelli's theorem非负可测函数的二重积分与两种迭代积分相等，允许共同取无穷。的雏形。在概率论中，它表现为期望公理库期望Expectation · Expected value实值或复值随机变量关于概率测度的 Lebesgue 积分，概括加权平均与总体质量平衡。对单调极限的连续性 $\mathbb{E}[X_n]\uparrow \mathbb{E}[X]$（$0\le X_n\uparrow X$ 时），支撑着从简单随机变量到一般随机变量的全部延拓论证；测度扩张、乘积测度与 Radon–Nikodym 定理的标准证明中，它也是被调用最频繁的引理。