形式陈述

设 $(f_n)$$(f_n)$ 是非负可测函数列，令 $f(x)=\sup_n f_n(x)$$f(x)=\underset{n}{sup}{f}_n(x)$，并且 $f_n(x)\uparrow f(x)$$f_n(x)\uparrow f(x)$ 对每个 $x$$x$ 成立。则 $f$$f$ 可测，并且

$$ \int_X f\,d\mu =\lim_{n\to\infty}\int_X f_n\,d\mu, $$$${\int }_{X}fd\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X{f}_{n}d\mu ,$$

等式允许两边为 $+\infty$$+\mathrm{\infty }$。更一般地，若 $f_n\ge g$$f_n\ge g$ 且 $g$$g$ 可积、$f_n\uparrow f$$f_n\uparrow f$，可对 $f_n-g$$f_n-g$ 应用非负版本。定理不要求测度有限，也不要求预先存在可积控制函数。

直觉

从下方逐层增加的非负近似不会隐藏负抵消；积分能够完整追踪这些新增“质量”，因此极限与积分可以交换。

例子与边界

令 $f_n=1_{[0,n]}$$f_n=1_{[0,n]}$ 于 $\mathbb R$$\mathbb{R}$，则 $f_n\uparrow1_{[0,\infty)}$$f_n\uparrow 1_{[0,\mathrm{\infty })}$，积分从 $n$$n$ 增至 $\infty$$\mathrm{\infty }$，定理仍成立。若函数列不是单调，不能直接使用；例如质量向远处移动时点态极限可能为零而积分恒定。递减版本需要至少某一项积分有限：对 $f_n=1_{[n,\infty)}$$f_n=1_{[n,\mathrm{\infty })}$ 在计数测度下，各积分均为 $\infty$$\mathrm{\infty }$、点态极限为零，不能从上交换。不要与实数序列的同名单调收敛定理混淆。

推论与应用

该定理用于从简单函数定义 Lebesgue 积分、交换非负级数与积分、证明期望的单调连续性，并推出 Fatou 引理。

参考资料

• Gerald B. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1999，§2.2, the Monotone Convergence Theorem。
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987，Ch. 1, monotone convergence for nonnegative measurable functions。