形式陈述

若 $f:X\times Y\to [0,\mathrm{\infty }]$ 可测，并处于标准 σ-有限乘积测度环境，则

$$\int fd(\mu \times \nu )={\int }_X({\int }_{Y}f(x,y)d\nu (y))d\mu (x)={\int }_Y({\int }_{X}f(x,y)d\mu (x))d\nu (y).$$

不需要预先假设 $f$ 可积。

直觉

非负性排除了正无穷与负无穷的未定义抵消，因此可以安全地逐层累加与交换次序。

例子与边界

对有正负部分且不绝对可积的函数，两种迭代积分可能不同或不存在；此时不能把 Tonelli 当作无条件的 Fubini。

推论与应用

它用于多重积分、非负级数换序、联合分布归一化，并是 Fubini 定理的自然前置。

参考资料

• Sheldon Axler, Measure, Integration & Real Analysis (2020), Tonelli theorem.
• Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed. (1999), Tonelli and Fubini.