Tonelli 定理

非负函数的累加不存在抵消，所以无论先沿哪一坐标积分，得到的都是同一总质量，哪怕结果为无穷。证明从矩形指标函数出发，经简单函数和单调逼近逐层扩张。它不仅允许换序，还保证几乎每个截面可测，使迭代积分本身成为合法对象。

对有正负部分且不绝对可积的函数，两种迭代积分可能不同或不存在；此时不能把 Tonelli 当作无条件的 Fubini。

在 ${\mathbb{N}}^2$ 上取计数测度和 $f(m,n)=2^{-(m+n)}$，Tonelli 给

若取非负 $f(m,n)$ 使总和发散，两种迭代和仍都等于 $\mathrm{\infty }$；定理并不要求预先有限。加入正负号后则必须转向绝对可积的 Fubini 条件。

乘积测度给出定义域，非负可测函数公理库可测函数Measurable function使目标空间可测集的原像都属于定义域 σ-代数的函数。可由简单函数单调逼近，单调收敛定理公理库单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。完成极限步骤。Fubini 定理公理库Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。随后处理可积有符号函数。概率中的联合密度归一化、非负级数换序和随机变量尾和公式都可看作 Tonelli 的实例；Monte Carlo 积分公理库Monte Carlo 积分Monte Carlo integration · Monte Carlo quadrature将积分改写为随机变量期望，以独立样本均值估计并用方差和概率假设量化随机误差。处理非负随机被积函数时，也可用它证明分层求和或非负期望交换合法，而不必预先假定结果有限。