Tonelli 定理

非负函数的累加不存在抵消，所以无论先沿哪一坐标积分，得到的都是同一总质量，哪怕结果为无穷。证明从矩形指标函数出发，经简单函数和单调逼近逐层扩张。对可测矩形 $A\times B$，公式先退化成 $\mu (A)\nu (B)$；推广到一般可测集合需利用乘积测度构造，再用简单函数及单调收敛推广到非负函数。这些步骤也保证迭代积分本身合法，而非只对两个尚未定义的表达式声称相等。

对有正负部分且不绝对可积的函数，两种迭代积分可能不同或不存在；此时不能把 Tonelli 当作无条件的 Fubini。

在正整数对 $\{1,2,\dots {\}}^2$ 上取计数测度和 $f(m,n)=2^{-(m+n)}$，Tonelli 给

若取非负 $f(m,n)$ 使总和发散，两种迭代和仍都等于 $\mathrm{\infty }$；定理并不要求预先有限。非负性删除后，失败甚至出现在纯计数问题里。令 $a_{m,n}=1$（$n=m$）、$a_{m,n}=-1$（$n=m+1$），其余为零，$m,n\ge 1$。每行和为 $0$，故先求行和再相加得到 $0$；第一列和为 $1$，其余列和为 $0$，故先求列和得到 $1$。绝对值总和无穷，正负两部分也各自无穷；所谓二维总和不是一个合法的有符号 Lebesgue 积分。

乘积测度给出定义域，非负可测函数理路可测函数Measurable function使目标空间可测集的原像都属于定义域 σ-代数的函数。可由简单函数单调逼近，单调收敛定理理路单调收敛定理Monotone convergence theorem非负可测函数单调递增时，积分极限等于极限函数积分。完成极限步骤。Fubini 定理理路Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。随后处理可积有符号函数。对非负随机变量 $Z$，恒等式 $Z(\omega )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathbf{1}}_{\{t<Z(\omega )\}}dt$ 结合 Tonelli 给出尾积分公式 $\mathbb{E}Z={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}(Z>t)dt$，即使期望无穷也成立。联合密度归一化和非负级数换序同样是其直接实例；Monte Carlo 积分理路Monte Carlo 积分Monte Carlo integration · Monte Carlo quadrature将积分改写为随机变量期望，以独立样本均值估计并用方差和概率假设量化随机误差。处理非负随机被积函数时，也可用它证明分层求和或非负期望交换合法，而不必预先假定结果有限。