形式陈述

集合 $A$$A$ 的幂集定义为

$$ \mathcal P(A)=\{B:B\subseteq A\}. $$$$\mathcal{P}(A)=\{B:B\subseteq A\}.$$

在 ZF 中，幂集公理保证对每个集合 $A$$A$，这样的集合 $\mathcal P(A)$$\mathcal{P}(A)$ 存在。

直觉

幂集的元素不是 $A$$A$ 的普通元素，而是 $A$$A$ 的全部可能子集。它把“选择哪些元素”本身变成新的对象。

例子与边界

若 $A=\{a,b\}$$A=\{a,b\}$，则 $\mathcal P(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$$\mathcal{P}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$。有限 $n$$n$ 元集合的幂集有 $2^n$$2^n$ 个元素。$a\in A$$a\in A$ 不推出 $a\in\mathcal P(A)$$a\in \mathcal{P}(A)$；只有当 $a$$a$ 本身也是 $A$$A$ 的子集时才可能成立。

推论与应用

拓扑是 $\mathcal P(X)$$\mathcal{P}(X)$ 的特殊子族，二元关系是 $\mathcal P(A\times B)$$\mathcal{P}(A\times B)$ 的元素，事件空间是幂集的适当封闭子族。Cantor 定理进一步说明不存在从 $A$$A$ 到 $\mathcal P(A)$$\mathcal{P}(A)$ 的满射。

参考资料

• Paul R. Halmos, Naive Set Theory, 1960; Dover reprint 2017, §5。
• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, §1.4。