连通空间

连通性排除拓扑意义上的完整断裂。若空间分成两个非空开块，那么每个点都能在自己的块内找到局部活动范围，没有任何局部接触迫使两块属于同一个整体。

这个条件只观察开集，并不测量两部分相距多远。距离很大的区域可以由中间部分连成一体；距离下确界为零的两族点，也可能仍被相对开集彻底分开。

道路连通要求任意两点之间有一条连续路径，是更具构造性的性质。道路连通必推出连通，反向需要局部道路连通等附加条件；“整体无法分开”不保证存在一条可参数化的通路。

实数中的每个区间都连通。证明可使用上确界：若区间 $I=U\bigsqcup V$ 被分离，取 $u\in U$、$v\in V$ 且 $u<v$，令

若 $c\in U$，$U$ 的相对开放性迫使右侧仍有 $U$ 中点，违背上确界；若 $c\in V$，$V$ 的相对开放性迫使左侧有一段避开 $U$，同样与 $c$ 是上确界矛盾。于是分离不存在。

集合 $[0,1]\cup [2,3]$ 不连通，两段在子空间中都是非空既开又闭集。把间隙缩得再小也不改变这个结论，只要仍能找到相对开集把两块分开。

距离为零也不保证连通。实线中的

满足 $inf\{|a-b|:a\in A,b\in B\}=0$，但 $A\cup B$ 是离散子空间，当然不连通。集合间距离只给定量接近，不能代替开集结构。

拓扑学家的正弦曲线闭包

连通却不道路连通。原曲线是连续像，因而连通；连通集的闭包仍连通，所以加入竖线段后 $T$ 连通。无限振荡却阻止从曲线部分连续走到竖线上的点，展示两种连通层级的真实差异。

有理数空间 $\mathbb{Q}$ 不是连通的。给定 $p<q$ 两个有理数，选无理数 $r\in (p,q)$，则

给出包含两点的分离。$\mathbb{Q}$ 没有孤立点，却仍是全不连通的；局部稠密与整体连通不是同一性质。

连续映射公理库拓扑连续性Topological continuity · Continuous map目标开集的逆像始终开放，从而在不使用距离时表达映射不破坏局部邻近。保持连通。若 $f(X)$ 有分离，其逆像会把 $X$ 分开。实值连续函数在连通空间上的像因此是区间，介值定理正是这一结论在实线顺序结构中的表现。

一族连通子集若有共同交点，其并连通。若这个并在更大空间中稠密，它的闭包也连通。积空间连通性的标准证明正是先把有限坐标切片围绕共同基点粘在一起，再取闭包。

商投影连续且满射，所以连通空间的任意商仍连通。子空间却未必继承连通性；从连通空间删点或只取两块子集，完全可能制造分离。

连通、紧致与 Hausdorff 性彼此没有一般蕴含。$\mathbb{R}$ 连通且 Hausdorff 但不紧；二点离散空间紧且 Hausdorff 但不连通；二点平凡空间紧且连通却不 Hausdorff。具体定理若同时使用这些性质，必须逐项保留假设。

连通分支总是闭集，因为连通集的闭包仍连通且仍包含原点；它们未必开放。局部连通空间中，分支才自动开放。道路分支与连通分支是否一致，也需要局部道路连通等条件，不能只凭名称相近合并。