形式陈述

拓扑空间 $X$$X$ 称为连通空间，若不存在非空开集 $U,V$$U,V$ 使

$$ X=U\cup V, \qquad U\cap V=\varnothing. $$$$X=U\cup V,U\cap V=\varnothing .$$

等价地，$X$$X$ 中既开又闭的集合只有 $\varnothing$$\varnothing$ 与 $X$$X$。

直觉

连通性表达空间不能被拓扑允许的开集干净地切成两块。它不要求任意两点之间存在可参数化的路径，那是更强的道路连通性。

例子与边界

实数中的区间均连通，而 $[0,1]\cup[2,3]$$[0,1]\cup [2,3]$ 不连通。两个集合有公共点且各自连通时，它们的并连通；仅仅距离很近并不足以连通。存在连通但不道路连通的空间，因此两概念不能互换。

推论与应用

连续像保持连通；于是连续实函数在区间上的像仍是区间，这直接导出介值定理。连通分支用于把空间分解为极大的连通子空间。

参考资料

• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000，§§23–24。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Chapter 2。