介值定理

区间没有可被分离成两块的拓扑裂缝，而连续映射不能制造这种裂缝；因此像集仍是区间。常见的“端点异号必有零点”只是把目标中间值选成零的特例。定理完全是存在性结果，函数可以在该值处反复穿越、贴住或拥有整段解集。

$f(x)=x^2-2$ 在 $[1,2]$ 两端异号，因此存在 $c$ 使 $c^2=2$。若函数不连续，结论可失败：阶跃函数

从 $-1$ 跳到 $1$ 而不取 $0$。端点异号是求根的充分条件，不是必要条件；$x^2$ 在 $[-1,1]$ 有零点但端点同号。

方程 $x^5+x-1=0$ 在 $[0,1]$ 上有根，因为端点函数值分别为 $-1$ 与 $1$；再利用导数 $5x^4+1>0$ 才能推出根唯一。二分法公理库二分求根法Bisection method以端点异号区间为不变量，给出可验证误差界、对数成本和有限精度停止条件。每一步保留异号子区间，其正确性正由介值定理保证，而收敛速度来自区间长度每次减半。若定义域不是区间，例如只取 $\{-1,1\}$，端点值之间的数并不必被取得。

连续性公理库连续性Continuity · Continuous function函数在输入微小变化时输出可被控制为任意小变化的性质。把连通空间公理库连通空间Connected space不能被分成两个不交非空相对开集的空间。送到连通像，实数中的连通集结构便导出介值性质。证明根存在还依赖实数完备性公理库实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property实数作为完备有序域没有有理数式的序与极限缺口。保证嵌套区间或上确界落在实数中；算法层面，序列收敛公理库序列收敛Convergence of a sequence序列项最终任意接近某个极限值。解释二分端点怎样逼近实际根，而具体的区间不变量、误差界、停止条件与浮点中点边界由二分法页面承担。