介值定理

从低于 $L$ 的高度连续走到高于 $L$ 的高度，中途必须到达 $L$。函数可以来回摆动、多次经过目标高度，甚至沿该高度停留一整段；只要没有跳跃、定义域也没有缺口，就不能把这个中间高度完全跳过。

其中有两个相互配合的条件。连续性控制函数值不会突然跳过一段高度，区间结构保证横坐标没有可跨过去的空隙。在实数上寻找两侧的分界点时，还要靠完备性保证这个分界点确实存在；下面的上确界证明会把这一步明确写出。

存在、唯一与端点符号是不同问题 ​

$f(x)=x^2-2$ 在 $[1,2]$ 上连续，两端的值为 $-1$ 与 $2$，所以有一个正实数满足 $c^2=2$。这是存在性；正区间上 $x^2$ 严格递增，才进一步给出这个正根的唯一性。

相同高度也可以经过多次：$f(x)=x^3-x$ 在 $[-2,2]$ 上两端异号，零点有 $-1,0,1$。与严格递增的平方函数相比，它展示了介值定理容许的多解情形。

端点异号是有零点的充分条件，不是必要条件。$x^2$ 在 $[-1,1]$ 的端点都为正，却在 $0$ 取零。函数若只与横轴相切、没有穿过横轴，异号检验便看不见这个根。

连续性、区间与完备性 ​

阶跃函数

在 $[-1,1]$ 两端异号，却不取零，它在零点从 $-1$ 跳到 $1$，越过了中间高度。若只在两点集合 $\{-1,1\}$ 上定义 $g(x)=x$，函数在这个子空间上连续，仍不取零，此时两个横坐标之间缺少整个区间。

在有理数中，缺失的点还会影响连续求根。在有理数空间的子集 $[1,2]\cap \mathbb{Q}$ 上，$f(q)=q^2-2$ 是连续函数，两端异号，却没有有理零点。这个定义域缺少的正是候选根 $\sqrt{2}$；在实区间中，完备性让它成为区间内的一个点。

连续函数的像集是区间，但未必只是端点值夹出的那一段。例如 $f(x)=1-x^2$ 在 $[-1,1]$ 两端都为零，中间却取到 $1$。这里的像是 $[0,1]$，包含端点值，也包含途中达到的更高位置。

连续性也只是介值性质的充分条件。函数 $h(x)=\sin \left(1/x\right)$（$x\ne 0$）、$h(0)=0$ 在原点不连续，却在每个区间上有介值性质：远离原点时使用普通连续性；区间包含原点且有正长度时，靠近原点的一侧就已经反复取得 $[-1,1]$ 内全部值。因此介值性质比连续性弱：函数可以通过越来越密集的振荡遍历所有中间高度。

二分法怎样把存在性变成搜索 ​

对 $x^2-2$，中点 $3/2$ 的函数值是 $1/4>0$，所以保留 $[1,3/2]$；下一中点 $5/4$ 的函数值是 $-7/16<0$，再保留 $[5/4,3/2]$。每次选择的子区间都保持端点异号，因此介值定理保证其中仍有根。

从长度 $b-a$ 的区间开始，完成 $k$ 次减半后，剩余长度为 $(b-a)/2^k$。用剩余区间中点近似其中一个根，误差至多为 $(b-a)/2^{k+1}$。嵌套闭区间的宽度趋零，完备性给出唯一公共位置，两端的符号与连续性迫使这个位置是根。这是精确实数运算下的位置误差保证。函数值误差还受斜率影响，例如 $f(x)=\eta (x-c)$ 的残差为 $\eta |x-c|$；当 $\eta >0$ 很小时，残差会远小于位置误差。实际停止准则和浮点中点问题由二分法理路二分求根法Bisection method以端点异号区间为不变量，给出可验证误差界、对数成本和有限精度停止条件。条目进一步处理。

证明：上确界为什么恰好取到目标高度 ​

只需考虑 $f(a)<L<f(b)$，反向情形对 $-f$ 使用同样论证。设

$S$ 非空且有上界，所以实数完备性理路实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property定义非空有界集合具有最小上界的完备性质，并说明它如何刻画实数的序与极限结构。给出 $c$。由 $a$ 处连续性，$a$ 右侧的一些点仍属于 $S$，故 $c>a$；由 $b$ 处连续性，$b$ 左侧一小段的函数值都大于 $L$，故 $c<b$。

若 $f(c)<L$，连续性使某个略大于 $c$ 的点仍满足 $f<L$，与 $c$ 是上界矛盾。若 $f(c)>L$，连续性给出某个 $\delta >0$，使 $(c-\delta ,c+\delta )$ 内的函数值都大于 $L$。由于 $c$ 已是 $S$ 的上界，而 $(c-\delta ,c]$ 中又没有 $S$ 的元素，$c-\delta$ 也是上界，与 $c$ 是最小上界矛盾。两种严格不等式都不可能，因而 $f(c)=L$。

即使 $f$ 多次穿过高度 $L$，集合 $S$ 分成几段，上确界仍然选出了最右侧的分界点。证明只用到该点附近的连续性，所以同样适用于来回摆动的函数。

区间上的不动点 ​

若连续函数 $f:[a,b]\to [a,b]$ 把区间映回自身，令 $g(x)=f(x)-x$。由于

介值定理给出某个 $c$ 满足 $g(c)=0$，也就是 $f(c)=c$。迭代轨道还取决于映射如何移动点。例如取 $f(x)=1-x$、定义域为 $[0,1]$，唯一不动点是 $1/2$，但从 $x_0=0$ 出发会得到 $0,1,0,1,\dots$，一直往返而不收敛。轨道在不动点两侧对称往返，每一步都保留了到不动点的距离。

若映射满足统一压缩条件，Banach 不动点定理理路Banach 不动点定理Banach fixed-point theorem · Contraction mapping theorem完备空间中的统一压缩给出唯一不动点；用几何尾和证明收敛，并把后验误差与残差转成停止证书。会进一步使任意轨道收敛到唯一不动点，并给出几何误差界：压缩让每一步的距离持续缩小。

从拓扑角度看，连续映射把连通空间理路连通空间Connected space不能被分成两个不交非空相对开集的空间。映成连通像，实数中的连通集恰是区间。介值定理正是这条结构规律在实函数上的具体表现；二分法则进一步利用实数的次序，把存在性转成逐步缩小的搜索范围。要保证闭区间上的像具有最大、最小值，还须使用极值定理理路极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。：介值定理填满中间值，极值定理保证极值被取到。