形式陈述

设 $f:[a,b]\to\mathbb R$$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 连续。若实数 $L$$L$ 位于 $f(a)$$f(a)$ 与 $f(b)$$f(b)$ 之间，即

$$ \min\{f(a),f(b)\}\le L\le\max\{f(a),f(b)\}, $$$$min\{f(a),f(b)\}\le L\le max\{f(a),f(b)\},$$

则存在 $c\in[a,b]$$c\in [a,b]$ 使 $f(c)=L$$f(c)=L$。特别地，若 $f(a)f(b)<0$$f(a)f(b)<0$，则存在 $c\in(a,b)$$c\in (a,b)$ 满足 $f(c)=0$$f(c)=0$。

直觉

连续函数不能从端点的一个高度跳到另一个高度而跳过中间值。区间的连通性经连续映射保留下来，而实数中的连通集恰是区间。

例子与边界

$f(x)=x^2-2$$f(x)=x^2-2$ 在 $[1,2]$$[1,2]$ 两端异号，因此存在 $c$$c$ 使 $c^2=2$$c^2=2$。若函数不连续，结论可失败：阶跃函数

$$ g(x)=\begin{cases}-1,&x<0,\\1,&x\ge0\end{cases} $$$$g(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0,\\ 1,& x\ge 0\end{array}$$

从 $-1$$-1$ 跳到 $1$$1$ 而不取 $0$$0$。端点异号是求根的充分条件，不是必要条件；$x^2$$x^2$ 在 $[-1,1]$$[-1,1]$ 有零点但端点同号。

推论与应用

介值定理证明方程根的存在、连续像为区间，并支撑二分法。它只保证至少一个解，不给唯一性或收敛速度；后者需单调性、导数界或算法分析。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 4。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 4。