实数完备性

完备性不是说四则运算总能做，而是说逼近过程不会指向数系之外的缺口。上确界把“从下方越来越贴近的边界”保证为一个实数；Cauchy 完备性则把同一事实改写为“内部看起来应当收敛的序列确实有极限”。

不同完备性命题适合不同证明：集合边界问题用上确界，数值逼近用 Cauchy 序列，局部化论证用嵌套区间，紧致性论证则常用 Bolzano–Weierstrass。它们不是毫无背景的逻辑同义词，而是在实数的有序、Archimedean 结构中互相推出。

集合 $A=\{x\ge 0:x^2<2\}$ 非空且有上界。令 $s=supA$：若 $s^2<2$，可把 $s$ 略增仍留在 $A$；若 $s^2>2$，可把 $s$ 略减仍保持为上界，两种情况都矛盾，所以 $s^2=2$。在 $\mathbb{Q}$ 中，相同集合没有有理数上确界，论证正好卡在缺失的 $\sqrt{2}$。

完备性不表示每个有界集合都有最大元。开区间 $(0,1)$ 的上确界是 $1$，但 $1$ 不属于该集合。它也不表示任意序列都收敛；序列 $(-1{)}^n$ 有界却不收敛，只能由 Bolzano–Weierstrass 保证存在收敛子列。

单调有界序列收敛定理公理库单调有界序列收敛定理Monotone convergence theorem for sequences每个单调且有界的实数序列都收敛。、Cauchy 序列公理库柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。完备性、嵌套区间性质与 Bolzano–Weierstrass 定理给出实数无缺口的不同工作接口。介值定理公理库介值定理Intermediate value theorem连续实函数在区间上取得端点函数值之间的每个值。、连续函数在紧区间取极值、Riemann 积分与无穷级数都依赖这些接口。

完备有序域在保持有序域结构的唯一同构意义下唯一；具体把实数实现为 Dedekind 分割还是 Cauchy 序列，不改变后续分析所使用的完备结构。