形式陈述

若 $S\subseteq\mathbb R$$S\subseteq \mathbb{R}$ 非空且存在 $M\in\mathbb R$$M\in \mathbb{R}$ 使所有 $s\in S$$s\in S$ 满足 $s\le M$$s\le M$，则存在 $\sup S\in\mathbb R$$supS\in \mathbb{R}$：它是 $S$$S$ 的上界，且不大于任何其他上界。

直觉

有理数轴存在“缺口”，实数轴没有。只要一组实数从上方被限制，它的边界位置仍是一个实数。

例子与边界

$\{x\in\mathbb R:x^2<2\}$$\{x\in \mathbb{R}:x^2<2\}$ 的上确界是 $\sqrt2$$\sqrt{2}$。若把集合限制在 $\mathbb Q$$\mathbb{Q}$，相同集合没有有理数上确界，所以有理数不完备。

推论与应用

单调收敛定理、Bolzano–Weierstrass 定理、介值定理以及微积分中的大量存在性结论都依赖完备性。

参考资料

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., §1.19.
• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Chapter 1.