序列收敛

收敛控制整段尾部，而不是偶尔接近目标，也不是相邻两项看起来越来越近。可以把半径 $\epsilon$ 的球想成目标周围的误差区：把它缩得多小，序列最终都能进入并一直留在里面，才叫收敛。

阈值不是唯一的。一个 $N$ 有效，更大的阈值也有效；证明的任务是给出足够大的阈值，而非找最小阈值。误差要求收紧时，允许重新选更远的 $N$，并不要求同一个阈值同时处理所有精度。

如果把量词换成“存在 $N$，对所有 $\epsilon >0$”，那么固定任何 $n\ge N$ 后，距离必须小于每一个正数，只能等于零。这会把收敛误写成最终恒等于极限。真正的收敛允许一直有非零误差，也允许来回穿过目标：例如 $(-1{)}^n/n\to 0$，符号始终交替，绝对误差却能通过 $1/n$ 统一控制。

将量词变成一次误差估计 ​

对 $n\ge 1$，令

猜测极限为 $1/2$ 后，应计算实际误差，而不是只说“最高次项相除”：

给定 $\epsilon >0$，将 $3/(4n-2)<\epsilon$ 解为 $n>3/(4\epsilon )+1/2$。所以先取满足这个严格不等式的整数 $N$，再让 $n$ 任意跑遍 $N,N+1,\dots$，误差都会合格。例如误差要求为 $0.01$ 时，$N=76$ 可用，因为 $3/(4\cdot 76-2)=3/302<0.01$。这一步检查的是无限长的尾部，而非只检查第 $76$ 项。

这里能给出停止位置，是因为已经推导出显式误差公式。单独观察前 $76$ 项并不能证明收敛：另一条序列可以在这些位置与它完全一致，从第 $77$ 项起却改为交替取 $0$ 和 $1$。有限记录与对所有未来索引有效的估计，提供的是不同强度的证据。

有界、局部靠近与收敛 ​

$(-1{)}^n$ 有界，但偶数子序列恒为 $1$，奇数子序列恒为 $-1$，所以原序列不收敛。有界只把所有项关在一个大区域里，收敛还要求尾部被任意小的区域约束。

令 $h_n=1+1/2+\cdots +1/n$。相邻差 $h_{n+1}-h_n=1/(n+1)\to 0$，但

任意靠后的长时间段仍能累积固定大小的变化。因此“单步越来越小”不能代替对所有远期项的整体控制。

收敛还取决于空间。用越来越多位小数从下方近似 $\sqrt{2}$，得到一个有理数序列；它在 $\mathbb{R}$ 中收敛，在 $\mathbb{Q}$ 中却没有极限，因为候选点 $\sqrt{2}$ 不属于该空间。距离相同并不保证允许的极限点相同。

唯一性与有界性从哪里来 ​

若 $x_n\to x$ 且 $x_n\to y$，取足够大的 $n$，使到 $x,y$ 的距离都小于 $\epsilon /2$。三角不等式给出

对任意 $\epsilon >0$ 都成立，故 $d(x,y)=0$，即 $x=y$。度量空间中的极限因而唯一。

取 $\epsilon =1$，尾部都落在以极限为中心的半径一球内；前面只有有限项，再把它们到极限的距离纳入一个更大的半径，整个序列就有界。这一步同时使用“尾部统一控制”与“前缀有限”。

子序列与 Cauchy 条件 ​

收敛序列的每个子序列都趋于同一极限，因为严格递增的索引最终越过原来的阈值。反过来，只找到一条收敛子序列不够；但以下判据成立：每条子序列都存在进一步趋于 $x$ 的子序列，当且仅当原序列趋于 $x$。 若原序列不趋于 $x$，按否定定义就能逐次挑出始终离 $x$ 至少 ${\epsilon }_0$ 的子序列，直接反驳该条件。

Cauchy 条件理路柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。不预先指定极限，而要求

收敛必为 Cauchy，证明仍用三角不等式；逆命题在完备度量空间成立。有理数逼近 $\sqrt{2}$ 的例子说明，缺少完备性时，“所有远期项互相靠近”仍可能找不到空间内的落点。

运算、次序与精度 ​

对实数收敛序列，若 $x_n\to x$、$y_n\to y$，则和、积分别趋于 $x+y,xy$；若 $y\ne 0$，商最终有定义并趋于 $x/y$。积法则需要控制一个因子的大小，例如

其中 $(x_n)$ 的有界性使第一个误差系数可统一控制。商法则中的非零极限则保证分母最终远离零。

实数的单调有界序列收敛，极限由上确界或下确界给出；一般有界序列只能借助 Bolzano–Weierstrass 定理保证有收敛子序列。两者都调用实数完备性，不能从序列的定义单独推出。

收敛的定性结论也不自动提供误差速率。要停止迭代，通常还需要 $d(x_n,x)\le r_n$ 这样的可计算上界；仅观察相邻差很小，可能遇到调和部分和所揭示的问题。在一般拓扑中，收敛理路拓扑空间中的收敛Convergence in a topological space · Net convergence网最终进入候选极限的每个邻域时所定义的一般拓扑收敛。改用“最终进入每个邻域”定义，唯一性还需 Hausdorff 等分离条件，本条的唯一性证明限于度量情形。