形式陈述

实数序列 $(a_n)$$(a_n)$ 收敛到 $L\in\mathbb R$$L\in \mathbb{R}$，记作 $a_n\to L$$a_n\to L$，当且仅当

$$ \forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\;\forall n\ge N, \quad |a_n-L|<\varepsilon. $$$$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\ge N,|a_n-L|<\epsilon .$$

极限若存在则唯一。在度量空间中，只需把绝对值替换为距离 $d(a_n,L)$$d(a_n,L)$。

直觉

无论给定多小的容许误差，越过某个有限索引后，所有剩余项都会永久落入极限附近。定义允许前面有限多项任意波动，也不要求序列单调。

例子与边界

$a_n=1/n$$a_n=1/n$ 收敛到 $0$$0$：给定 $\varepsilon>0$$\epsilon >0$，取 $N>1/\varepsilon$$N>1/\epsilon$ 即可。$(-1)^n$$(-1{)}^n$ 不收敛，因为它无限次停留在 $1$$1$ 与 $-1$$-1$，无法最终进入任何足够小的单一邻域。偶尔接近 $L$$L$ 或存在收敛子序列都不足以推出原序列收敛。

推论与应用

每个收敛实数序列都有界，和、积及连续函数在适当条件下保持极限。实数完备性还保证 Cauchy 序列必收敛，从而支撑数值迭代、无穷级数和函数逼近。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015, Chapter 2.
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976, Chapter 3.