序列收敛

“最终全部进入”比“无穷多次进入”强：前者不允许序列在靠近极限后又不断远离。收敛只关心尾部，所以修改有限多项不改变极限。误差阈值越小，允许选择越晚的起始位置；定义并不要求存在统一的收敛速度公式。

$a_n=1/n$ 收敛到 $0$：给定 $\epsilon >0$，取 $N>1/\epsilon$ 即可。$(-1{)}^n$ 不收敛，因为它无限次停留在 $1$ 与 $-1$，无法最终进入任何足够小的单一邻域。偶尔接近 $L$ 或存在收敛子序列都不足以推出原序列收敛。

对 $a_n=(n+1)/(2n-1)$，

给定 $\epsilon >0$ 可取 $n>(3+2\epsilon )/(4\epsilon )$。序列 $\sin n$ 有许多聚集行为却不收敛；仅证明相邻差 $a_{n+1}-a_n\to 0$ 也不够，调和部分和就是反例。

序列配合极限公理库极限Limit · Epsilon–delta limit用任意精度的邻近关系描述序列或函数趋向某个值。得到收敛，Cauchy 性公理库柯西序列Cauchy sequence任意精度下充分靠后的任意两项彼此接近的序列。则只比较尾部各项而不预知极限。每个收敛实数序列都有界，和、积及连续函数在相应条件下保持极限。实数完备性公理库实数完备性Completeness of the real numbers · Least-upper-bound property实数作为完备有序域没有有理数式的序与极限缺口。保证实 Cauchy 序列确有极限；级数公理库级数Infinite series序列各项的有限部分和所组成的序列及其极限。、迭代算法、函数逼近和离散时间随机过程都把复杂对象转化为部分和或状态序列后研究这一尾部稳定性。

数值分析还要在这个拓扑定义之上说明收敛怎样发生。Q 收敛与 R 收敛公理库迭代收敛阶Order of convergence · Q-convergence · R-convergence用相邻迭代误差的渐近幂律区分线性、超线性与二次收敛，并说明实验估阶的边界。描述误差序列的渐近速度，网格收敛公理库离散化误差与截断误差Discretization error · Truncation error区分连续问题的离散缺陷与离散解的全局误差，并说明一致性为何不能单独保证收敛。则研究离散尺度 $h\to 0$ 时重构解是否逼近连续解；两者都需要额外的误差度量和稳定性条件，不能由“存在极限”一项替代。