离散化误差与截断误差

连续问题像一条完整曲线，离散化只保留有限个观察位置或有限个基函数系数。截断误差问的是：如果把真正的曲线拿到这套有限规则上检查，它违背规则多少？全局误差问的是：真正解出有限规则后，再把所得对象放回连续世界，它离原曲线多远？

一条规则在每个局部都只犯小错，仍可能在传播过程中把这些小错累积或放大。反过来，一个局部阶数不高的规则也可能因结构稳定而给出可用的全局结果。因此“Taylor 展开剩余项很小”只是分析的开端，不是收敛结论。

前向差分用

近似 $f^{\prime }(x)$。由Taylor 定理理路泰勒定理Taylor's theorem足够光滑函数由有限阶导数多项式加余项表示。，若 $f$ 在邻域内二阶可微，则存在 ${\xi }_h$ 介于 $x$ 与 $x+h$ 之间，使

在 $f^{″}$ 一致有界时，该离散化的截断误差为 $O(h)$。这里的“截断”来自有限差分公式省略了更高阶变化，并不要求函数先写成一条收敛无穷级数。

有限精度下，差分分子还会相减两个接近的函数值。一个简化的总误差模型是

减小 $h$ 起初会压低截断误差，继续减小时，舍入和函数求值误差经 $1/h$ 放大，误差曲线便可能反弹。这个现象说明网格加密必须做 sweep 并报告误差定义，不能把“$h$ 越小越好”当作无限成立的规则。

时间步进中还会出现另一层区别：一步从精确状态出发造成的局部误差常为 $O(h^{p+1})$，在固定时间区间累计许多步后，全局误差通常只有 $O(h^p)$。具体降阶需要稳定性和正则性条件，不能从局部指数直接抄到全局结论。

“截断误差”也不是机器把数值截到固定字长产生的误差。后者属于有限表示或舍入；若两者混用，就无法解释加密网格后误差先降后升的两种机制。

有限差分公式理路有限差分公式Finite-difference formulas · Finite-difference stencil用邻近节点的函数值近似导数，并以矩条件推导差分权重、截断阶和边界公式。、数值求积和偏微分方程离散都应从本页复用“限制—离散算子—重构”的结构，再各自指定范数、光滑性和局部尺度。对常微分方程步进，局部误差与全局误差理路ODE 的局部误差与全局误差Local and global error for ODE · ODE truncation error区分从精确状态迈出一步的局部缺陷与累计数值轨道的全局误差，并用离散 Grönwall 估计误差传播。进一步追踪每一步的截断缺陷怎样经稳定性传播并累积。序列收敛理路序列收敛Convergence of a sequence序列项最终任意接近某个极限值。提供 $h\to 0$ 的极限语言，但收敛阶还取决于误差怎样随 $h$ 缩放。

实验报告至少应区分离散化误差、迭代残差和舍入平台期。若使用高精度参考解，也要说明它如何得到；若只比较相邻网格结果，则所得量是误差估计，不应未经额外论证就写成真误差。