Euler 方法 | Codeboy's Blog

形式陈述

对初值问题

y'=f(t,y),\qquad y(t_0)=y_0,

在时间网格 $t_{n+1}=t_n+h_n$ 上，前向 Euler 使用当前斜率：

y_{n+1}=y_n+h_nf(t_n,y_n).

它是显式一步法。输入 $f,t_n,y_n,h_n$ 后，每步需要一次新的函数求值和一次状态更新；若状态维数为 $d$ 且一次 $f$ 求值成本为 $C_f$ ，单步成本为 $C_f+O(d)$ ，只推进末状态时额外存储为 $O(d)$ 。

后向 Euler 使用新时刻和新状态上的斜率：

y_{n+1}=y_n+h_nf(t_{n+1},y_{n+1}).

它是隐式一步法，每步需求解

F_n(z)=z-y_n-h_nf(t_{n+1},z)=0.

若 $f(t_{n+1},\cdot)$ 在整个有限维状态空间上有Lipschitz 常数 $L$ ，且 $h_nL<1$ ，映射 $z\mapsto y_n+h_nf(t_{n+1},z)$ 是完备空间上的压缩自映射。Banach 不动点定理给出一步解的存在唯一性和简单不动点迭代的收敛。若只在局部非空闭集 $D$ 上有该估计，还必须验证映射把 $D$ 送回自身，才能在这个完备子空间中使用定理；Newton 等求解器可在更广条件下工作，但必须报告非线性残差、迭代上限和失败状态。后向 Euler 的成本不是“一次公式代入”，而是每步若干函数、Jacobian 与线性求解工作。

假设精确轨道在本步上属于 $C^2$ 。从精确状态 $y(t_n)$ 出发，前向 Euler 的一步缺陷可用Taylor 展开的积分余项写成

y(t_{n+1}) -y(t_n) -h_nf(t_n,y(t_n)) =\int_{t_n}^{t_{n+1}} (t_{n+1}-s)y''(s)\,ds,

因而

\left\| y(t_{n+1})-y(t_n)-h_nf(t_n,y(t_n)) \right\| \le \frac{h_n^2}{2} \sup_{s\in[t_n,t_{n+1}]}\|y''(s)\|.

后向公式代入精确轨道所得的方程残差记为 $\delta_{n+1}$ ，相应有

\delta_{n+1}=y(t_{n+1}) -y(t_n) -h_nf(t_{n+1},y(t_{n+1})) =-\int_{t_n}^{t_{n+1}} (s-t_n)y''(s)\,ds,

该残差满足同样的 $h_n^2\sup\|y''\|/2$ 上界，但它不等于精确起步后的映射缺陷。若 $z=\Psi_{t_n,h_n}(y(t_n))$ 是解出的后向 Euler 新状态，令 $d_{n+1}=y(t_{n+1})-z$ ，则

d_{n+1}=\delta_{n+1}+h_n\bigl(f(t_{n+1},y(t_{n+1}))-f(t_{n+1},z)\bigr), \qquad \|d_{n+1}\|\le\frac{\|\delta_{n+1}\|}{1-h_nL}.

这个界要求两状态处于上述 Lipschitz 区域且 $h_nL<1$ 。固定 $q<1$ 并限制 $h_nL\le q$ ，才得到一致的 $d_{n+1}=O(h_n^2)$ 界。积分余项对向量状态逐分量成立，不需要各分量共享一个中值点。文献可能把方程残差或映射缺陷除以 $h_n$ 后称为局部截断误差，引用时应说明究竟采用哪个量。

在固定终点区间上，若精确解属于 $C^2$ 、二阶导数有界，各数值状态与精确状态留在上述 Lipschitz 区域，且 $h_nL\le q<1$ ，误差传播可得

\max_{0\le n\le N}\|y(t_n)-y_n\| \le C_T\max_nh_n,

所以两种 Euler 方法都是全局一阶。局部 $O(h^2)$ 不能改写成全局二阶；常数 $C_T$ 还依赖时间区间、Lipschitz 常数和解的光滑性。

对标量测试方程

y'=\lambda y,\qquad z=h\lambda,

固定步长下前向与后向 Euler 的放大因子分别为

R_{\mathrm{FE}}(z)=1+z, \qquad R_{\mathrm{BE}}(z)=\frac1{1-z}.

这两个有理表达式比较离散模式怎样逐步放大，不等同于误差阶。高阶准确性和离散衰减能力是两条独立坐标。

算法输入应包含 IVP、时间区间、网格、显式或隐式选择，以及隐式求解容差和预算；输出包括状态轨道或末状态、函数与 Jacobian 求值数、非线性迭代数和退出状态。固定网格在全部时间步完成后结束；遇到非有限函数值、无法表示的新时间点、隐式方程未收敛或预算耗尽时必须返回失败，而不是把最后一次迭代冒充 $y_{n+1}$ 。

直觉

前向 Euler 沿当前切线走完整一步，像用轨道起点的方向预测终点。后向 Euler 则要求终点处的切线能够从旧状态反推回这个终点，因此需要解一个自洽方程。两者都只使用一阶斜率信息，却对快速衰减模式给出完全不同的离散反馈。

黑色精确曲线旁，蓝色与绿色 Euler 折线每步只沿当前点斜率前进一次 — Euler 方法的逐步切线近似

减小步长通常改善截断误差，但也增加总步数、舍入累积和隐式求解次数。Euler 的价值是把这些机制暴露在最短公式中；它不是因为公式简单就适合作为所有 ODE 的默认生产求解器。

例子与边界

先看非刚性衰减

y'=-y,\qquad y(0)=1.

在 $[0,1]$ 上取 $h=1/N$ ，前向 Euler 给

y_N=(1-h)^N,

并随 $h\to0$ 一阶趋近 $e^{-1}$ 。若 $h>2$ ，放大因子 $1-h$ 的绝对值大于 $1$ ，离散轨道反而增长；连续方程衰减不能替代对离散步长的检查。

完整刚性实验取

y'=-1000y,\qquad y(0)=1,\qquad h=0.003.

此时 $\lambda=-1000$ 、 $z=h\lambda=-3$ ，十步到达 $T=0.03$ 。前向 Euler 的每步因子为

R_{\mathrm{FE}}(-3)=-2,

所以

y_{10}^{\mathrm{FE}}=(-2)^{10}=1024.

后向 Euler 的每步因子为

R_{\mathrm{BE}}(-3)=\frac1{1-(-3)}=\frac14,

从而

y_{10}^{\mathrm{BE}} =\left(\frac14\right)^{10} =9.5367431640625\times10^{-7}.

精确值则是

y(0.03)=e^{-30} =9.357622968840175\times10^{-14}.

显式轨道把真实衰减变成振荡爆炸；隐式轨道保持衰减，却仍比精确值大约七个数量级。这个对照同时说明两件事：前向 Euler 的步长不适合该快速模式，而“数值上稳定衰减”也不等于“在当前步长下准确”。要改善后者仍需减小步长或使用兼顾稳定性和精度的高阶方法。

后向 Euler 的鲁棒衰减还不能掩盖非线性求解失败。若每步只做一次未收敛的 Newton 更新，实际执行的已不是精确后向 Euler；代数残差必须进入总误差和退出状态。

延迟方程还需规定过去值怎样读取。连续Euler延迟方法用同一条折线进行离网格历史查询，并将原节点与平移节点合并检查连续残差。延迟长度不是整数步时，四舍五入查询位置会改变模型；连续耗散也不保证任意Euler步长下的离散衰减。

推论与应用

Runge–Kutta 方法在一步内采集多个斜率以提高阶数，后续绝对稳定分析会把 $R(z)$ 扩展到复平面，刚性页面则解释为何负实轴上的快速模式迫使显式方法取很小步长。本页只提供最小基准和完整实验，不把这些后续概念压成“隐式总是更好”。

可复现实验应报告 $\lambda,h,z$ 、步数、放大因子、数值轨道和精确参考值。只展示前十步曲线而不写纵轴尺度，或只说后向 Euler “没有发散”，都不足以判断数值答案是否可信。

对 Hamilton 系统，只改变位置与动量更新的先后依赖，就得到辛 Euler 方法。它仍通常是一阶，却能保持辛结构；谐振子上的精确离散二次不变量说明，相同误差阶数也可以对应不同的长期能量行为。

参考资料

NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.7: Ordinary Differential Equations, accessed 2026.
Ernst Hairer, Syvert P. Nørsett, and Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, 2nd rev. ed., Springer, 1993.
Ernst Hairer and Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, 2nd rev. ed., Springer, 1996.
Lloyd N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, unpublished text, 1996, ODE chapters.

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