Euler 方法

形式陈述 ​

对初值问题

$$y^{\prime }=f(t,y),y(t_0)=y_0,$$

在时间网格公理库常微分方程时间步进框架Time-stepping method for ODE · ODE integrator · Numerical time integration将常微分方程初值问题离散为时间网格上的数值状态与一步或多步更新，并分离流映射、误差层和退出状态。 $t_{n+1}=t_n+h_n$ 上，前向 Euler 使用当前斜率：

$$y_{n+1}=y_n+h_{n}f(t_n,y_n).$$

它是显式一步法。输入 $f,t_n,y_n,h_n$ 后，每步需要一次新的函数求值和一次状态更新；若状态维数为 $d$ 且一次 $f$ 求值成本为 $C_f$，单步成本为 $C_f+O(d)$，只推进末状态时额外存储为 $O(d)$。

后向 Euler 使用新时刻和新状态上的斜率：

$$y_{n+1}=y_n+h_{n}f(t_{n+1},y_{n+1}).$$

它是隐式一步法，每步需求解

$$F_n(z)=z-y_n-h_{n}f(t_{n+1},z)=0.$$

若 $f$ 对 $y$ 的Lipschitz 常数公理库Lipschitz 连续Lipschitz continuity · Lipschitz condition用统一常数定量限制函数输出距离相对于输入距离的增长。为 $L$ 且 $h_{n}L<1$，映射 $z\mapsto y_n+h_{n}f(t_{n+1},z)$ 是压缩映射，给出一步解的存在唯一性和简单不动点迭代的收敛充分条件；Newton 等求解器可在更广条件下工作，但必须报告非线性残差、迭代上限和失败状态。后向 Euler 的成本不是“一次公式代入”，而是每步若干函数、Jacobian 与线性求解工作。

从精确状态 $y(t_n)$ 出发，前向 Euler 的一步缺陷可用Taylor 展开公理库泰勒定理Taylor's theorem足够光滑函数由有限阶导数多项式加余项表示。的积分余项写成

$$y(t_{n+1})-y(t_n)-h_{n}f(t_n,y(t_n))={\int }_{t_n}^{t_{n+1}}(t_{n+1}-s)y^{″}(s)ds,$$

因而

$$\Vert y(t_{n+1})-y(t_n)-h_{n}f(t_n,y(t_n))\Vert \le \frac{h_n^2}{2}\underset{s\in [t_n,t_{n+1}]}{sup}\Vert y^{″}(s)\Vert .$$

后向公式相应有

$$y(t_{n+1})-y(t_n)-h_{n}f(t_{n+1},y(t_{n+1}))=-{\int }_{t_n}^{t_{n+1}}(s-t_n)y^{″}(s)ds,$$

并满足同样的 $h_n^{2}sup\Vert y^{″}\Vert /2$ 上界。这种写法对向量值状态不需要假定所有分量共享某个中值点。这里的 $O(h_n^2)$ 是未除以步长的一步缺陷；有些教材把它除以 $h_n$ 后称为局部截断误差，记号约定必须说明。在固定终点区间上，若精确解二阶导数有界、$f$ 对状态 Lipschitz，误差传播可得

$$\underset{0\le n\le N}{max}\Vert y(t_n)-y_n\Vert \le C_T\underset{n}{max}{h}_n,$$

所以两种 Euler 方法都是全局一阶。局部 $O(h^2)$ 不能改写成全局二阶；常数 $C_T$ 还依赖时间区间、Lipschitz 常数和解的光滑性。

对标量测试方程

$$y^{\prime }=\lambda y,z=h\lambda ,$$

固定步长下前向与后向 Euler 的放大因子分别为

$$R_{\mathrm{FE}}(z)=1+z,R_{\mathrm{BE}}(z)=\frac{1}{1-z}.$$

这两个有理表达式比较离散模式怎样逐步放大，不等同于误差阶。高阶准确性和离散衰减能力是两条独立坐标。

算法输入应包含 IVP、时间区间、网格、显式或隐式选择，以及隐式求解容差和预算；输出包括状态轨道或末状态、函数与 Jacobian 求值数、非线性迭代数和退出状态。固定网格在全部时间步完成后结束；遇到非有限函数值、无法表示的新时间点、隐式方程未收敛或预算耗尽时必须返回失败，而不是把最后一次迭代冒充 $y_{n+1}$。

直觉

前向 Euler 沿当前切线走完整一步，像用轨道起点的方向预测终点。后向 Euler 则要求终点处的切线能够从旧状态反推回这个终点，因此需要解一个自洽方程。两者都只使用一阶斜率信息，却对快速衰减模式给出完全不同的离散反馈。

减小步长通常改善截断误差，但也增加总步数、舍入累积和隐式求解次数。Euler 的价值是把这些机制暴露在最短公式中；它不是因为公式简单就适合作为所有 ODE 的默认生产求解器。

例子与边界

先看非刚性衰减

$$y^{\prime }=-y,y(0)=1.$$

在 $[0,1]$ 上取 $h=1/N$，前向 Euler 给

$$y_N=(1-h{)}^N,$$

并随 $h\to 0$ 一阶趋近 $e^{-1}$。若 $h>2$，放大因子 $1-h$ 的绝对值大于 $1$，离散轨道反而增长；连续方程衰减不能替代对离散步长的检查。

完整刚性实验取

$$y^{\prime }=-1000y,y(0)=1,h=0.003.$$

此时 $\lambda =-1000$、$z=h\lambda =-3$，十步到达 $T=0.03$。前向 Euler 的每步因子为

$$R_{\mathrm{FE}}(-3)=-2,$$

所以

$$y_{10}^{\mathrm{FE}}=(-2{)}^{10}=1024.$$

后向 Euler 的每步因子为

$$R_{\mathrm{BE}}(-3)=\frac{1}{1-(-3)}=\frac{1}{4},$$

从而

$$y_{10}^{\mathrm{BE}}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{10}=9.5367431640625\times {10}^{-7}.$$

精确值则是

$$y(0.03)=e^{-30}=9.357622968840175\times {10}^{-14}.$$

显式轨道把真实衰减变成振荡爆炸；隐式轨道保持衰减，却仍比精确值大约七个数量级。这个对照同时说明两件事：前向 Euler 的步长不适合该快速模式，而“数值上稳定衰减”也不等于“在当前步长下准确”。要改善后者仍需减小步长或使用兼顾稳定性和精度的高阶方法。

后向 Euler 的鲁棒衰减还不能掩盖非线性求解失败。若每步只做一次未收敛的 Newton 更新，实际执行的已不是精确后向 Euler；代数残差必须进入总误差和退出状态。

推论与应用

Runge–Kutta 方法公理库Runge–Kutta 方法Runge-Kutta method · RK method · Butcher tableau用一步内多个相互依赖的 stage 统一显式与隐式 Runge–Kutta 方法，并以 Butcher tableau、阶条件和稳定函数刻画结构。在一步内采集多个斜率以提高阶数，后续绝对稳定分析会把 $R(z)$ 扩展到复平面，刚性页面则解释为何负实轴上的快速模式迫使显式方法取很小步长。本页只提供最小基准和完整实验，不把这些后续概念压成“隐式总是更好”。

可复现实验应报告 $\lambda ,h,z$、步数、放大因子、数值轨道和精确参考值。只展示前十步曲线而不写纵轴尺度，或只说后向 Euler “没有发散”，都不足以判断数值答案是否可信。

参考资料

• NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.7: Ordinary Differential Equations, accessed 2026.
• Ernst Hairer, Syvert P. Nørsett, and Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, 2nd rev. ed., Springer, 1993.
• Ernst Hairer and Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, 2nd rev. ed., Springer, 1996.
• Lloyd N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, unpublished text, 1996, ODE chapters.