常微分方程

把高阶方程引入速度、加速度等辅助变量后，通常可化为一阶状态方程 $x^{\prime }=F(t,x)$。向量场在每个状态处给出允许的切向量，解曲线必须处处顺着这张“箭头场”前进。存在性关心箭头是否足够连续以拼出轨道，唯一性则要求相邻轨道不能从同一点分叉；这是两个不同层次的条件。

$y^{\prime }=ay$ 的解为 $y(t)=C{e}^{at}$。方程 $y^{\prime }=\sqrt{|y|}$、$y(0)=0$ 有等待任意时间后再离开零点的多组解，说明连续性不足以保证唯一。方程 $y^{\prime }=y^2$ 的解可在有限时间爆破，所以局部存在不等于全局存在。隐式方程或奇异初值问题可能无法化为标准显式系统。含小参数的奇异摄动理路奇异摄动Singular perturbation识别小参数极限中的阶数退化、解支路逃逸与非一致性，并明确判断所依赖的区域和范数。还会在参数趋零时降阶：每个正参数下有解，不代表极限问题仍能保留所有初值或边界条件。时间步进方法理路常微分方程时间步进框架Time-stepping method for ODE · ODE integrator · Numerical time integration将常微分方程初值问题离散为时间网格上的数值状态与一步或多步更新，并分离流映射、误差层和退出状态。产生的是网格上的数值轨道；满足离散更新并不自动使它成为本页所定义的经典解。

取 $r,K>0$。Logistic 方程 $y^{\prime }=ry(1-y/K)$ 在分母不为零的区间上有非零解

对 $y(0)=y_0>0$，取 $C=K/y_0-1$，该解在所有 $t\ge 0$ 有定义；当 $0<y_0<K$ 时，展示小种群近似指数增长、接近 $K$ 后逐渐饱和。若初值恰为 $0$ 或 $K$，则得到平衡解。相图只描述轨道几何；改变时间参数可能保留轨迹却改变微分方程，因此不能仅凭画出的曲线判断两个 ODE 等价。

ODE 从导数理路导数Derivative函数增量比在步长趋零时的极限。关系构造动力系统理路动力系统Dynamical system以时间加法幺半群对状态空间的作用统一描述离散迭代、流与半流。。自治方程的积分曲线在光滑流形上局部组装为向量场的流理路向量场的流Flow of a vector field · Local flow把光滑向量场积分为满足局部群律的一参数局部微分同胚族。；完整性正是流能否延伸到所有时间的额外条件。Picard–Lindelöf 定理理路Picard–Lindelöf 存在唯一性定理Picard-Lindelof theorem · Cauchy-Lipschitz theorem连续且对状态变量局部一致 Lipschitz 的向量场给出常微分方程初值问题的唯一局部解。在连续且对状态局部 Lipschitz 时给出唯一局部解，Grönwall 不等式理路Grönwall 不等式Gronwall inequality · Grönwall lemma将受自身积分控制的非负函数封闭为显式指数上界。控制解对初值与扰动的依赖，长时间存在仍需增长控制或守恒量。

力学中的位置—速度系统、电路中的电压电流、化学反应的浓度变化都可写成这种状态演化；模型含义不同，但存在唯一性和稳定性问题具有相同数学骨架。ODE 还可携带比一般向量场更强的几何结构：Hamilton 系统理路Hamilton 系统Hamiltonian system · Hamilton 系统由 Hamiltonian 的梯度经标准辛矩阵生成相空间流的常微分方程系统。用反对称辛矩阵作用于能量梯度生成流，连续轨道同时呈现能量守恒与辛形式保持。结构保持数值方法针对的是这些附加不变量，不能从“它求解一个 ODE”自动推出。

若变化率还读取固定过去时刻，延迟微分方程理路常延迟微分方程与分步构造Retarded delay differential equation · DDE method of steps · 常时滞微分方程 · 分步法用整段连续历史启动固定正延迟方程，逐窗构造唯一解，并核对有限时间延拓、历史误差与接缝正则性。需要整段连续历史作为初始输入。相同x(0)可给不同的第一步；正延迟允许逐窗把已知历史代入普通初值问题，但这不把一般历史空间缩成有限维当前状态。

对有限维显式初值系统，Peano 定理理路Peano 存在定理与 Euler 折线Peano existence theorem · Cauchy–Peano theorem · 佩亚诺存在定理在有限维连续向量场中构造不逃出的 Euler 折线，由一致积分残差与紧性取得经典解，并区分存在性、整列收敛和解误差。补齐“联合连续足以局部存在”的证明：选定紧时间—状态圆柱，以右端高度界决定不逃出时间，再将 Euler 折线的积分残差传给一致极限。这个结论允许多解，也不能无条件推广到无限维 Banach 值域。