形式陈述

常微分方程以单一自变量 $t$$t$ 的未知函数及其普通导数为对象。$k$$k$ 阶方程可写为

$$ F(t,y,y',\ldots,y^{(k)})=0, $$$$F(t,y,y^{\prime },\dots ,y^{(k)})=0,$$

在能解出最高阶导数时可化为一阶系统

$$ x'(t)=f(t,x(t)),\qquad x(t_0)=x_0. $$$$x^{\prime }(t)=f(t,x(t)),x(t_0)=x_0.$$

经典解是在某区间上可微并逐点满足方程和初值的函数。若 $f$$f$ 对 $t$$t$ 连续、对 $x$$x$ 局部 Lipschitz，则 Picard–Lindelöf 定理给出局部存在唯一解；仅连续通常只能保证存在而不能保证唯一。

直觉

ODE 规定状态在当前时间和当前状态下的瞬时速度。求解就是寻找一条曲线，使其切向量处处等于给定向量场。

例子与边界

$y'=ay$$y^{\prime }=ay$ 的解为 $y(t)=Ce^{at}$$y(t)=C{e}^{at}$。方程 $y'=\sqrt{|y|}$$y^{\prime }=\sqrt{|y|}$、$y(0)=0$$y(0)=0$ 有等待任意时间后再离开零点的多组解，说明连续性不足以保证唯一。方程 $y'=y^2$$y^{\prime }=y^2$ 的解可在有限时间爆破，所以局部存在不等于全局存在。隐式方程或奇异初值问题可能无法化为标准显式系统。数值近似满足离散方程也不自动是经典解。

推论与应用

ODE 描述力学、控制、电路、化学动力学和优化流；存在唯一性定理把建模中的“演化规则”提升为真正确定的局部轨道。

参考资料

• Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2012，Chs. 1–2, first-order equations and existence/uniqueness。
• Morris W. Hirsch, Stephen Smale, and Robert L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd ed., Academic Press, 2013，Chs. 1–3, differential equations, flows and uniqueness。