ODE 的局部误差与全局误差

形式陈述 ​

考虑初值问题

$$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0,$$

以及一步时间推进公理库常微分方程时间步进框架Time-stepping method for ODE · ODE integrator · Numerical time integration将常微分方程初值问题离散为时间网格上的数值状态与一步或多步更新，并分离流映射、误差层和退出状态。

$$y_{n+1}={\mathrm{\Psi }}_{t_n,h_n}(y_n),h_n=t_{n+1}-t_n.$$

记精确流为 ${\mathrm{\Phi }}_{t,h}$。第 $n+1$ 步的未缩放局部缺陷定义为

$$d_{n+1}={\mathrm{\Phi }}_{t_n,h_n}(y(t_n))-{\mathrm{\Psi }}_{t_n,h_n}(y(t_n)).$$

它以前一步的精确值启动，只测量这一次数值映射偏离精确流多少，不含以前各步已经积累的误差。若方法具有局部阶 $p+1$，则在精确轨道所在区域一致地有

$$\Vert d_{n+1}\Vert \le C{h}_n^{p+1}.$$

另一种常见规范把局部截断误差定义为

$${\tau }_{n+1}=\frac{d_{n+1}}{h_n},$$

此时同一方法写成 ${\tau }_{n+1}=O(h_n^p)$。两种规范只差一个 $h_n$，却会让文献中的阶指数相差一；引用结论时必须先声明采用 $d$ 还是 $\tau$。

全局误差在网格点比较真实轨道与实际递推状态：

$$e_n=y(t_n)-y_n.$$

假设数值一步映射在解轨道邻域满足稳定性估计

$$\Vert {\mathrm{\Psi }}_{t,h}(u)-{\mathrm{\Psi }}_{t,h}(v)\Vert \le (1+L_{\mathrm{\Psi }}h)\Vert u-v\Vert$$

且步长足够小。将精确一步加减 ${\mathrm{\Psi }}_{t_n,h_n}(y(t_n))$，得到传播递推

$$\Vert e_{n+1}\Vert \le (1+L_{\mathrm{\Psi }}{h}_n)\Vert e_n\Vert +\Vert d_{n+1}\Vert .$$

离散Grönwall 不等式公理库Grönwall 不等式Gronwall inequality · Grönwall lemma将受自身积分控制的非负函数封闭为显式指数上界。因而给出

$$\Vert e_n\Vert \le e^{L_{\mathrm{\Psi }}(t_n-t_0)}(\Vert e_0\Vert +\sum _{j=0}^{n-1}\Vert d_{j+1}\Vert ).$$

若初值精确，$t_n\le T$，并且 $\Vert d_{j+1}\Vert \le C{h}_j^{p+1}$，令 $h_{max}=\underset{j}{max}{h}_j$，则

$$\sum _{j=0}^{n-1}{h}_j^{p+1}\le h_{max}^p\sum _{j=0}^{n-1}{h}_j\le (T-t_0)h_{max}^p.$$

所以在固定有限区间 $[t_0,T]$ 上

$$\underset{t_n\le T}{max}\Vert e_n\Vert =O(h_{max}^p).$$

结论需要三类条件同时成立：精确解有足够光滑性以产生 $O(h^{p+1})$ 局部缺陷；$f$ 对状态在相关区域Lipschitz公理库Lipschitz 连续Lipschitz continuity · Lipschitz condition用统一常数定量限制函数输出距离相对于输入距离的增长。，并使一步映射对初值扰动受控；全部数值状态留在该区域。只验证 Taylor 余项而不控制误差传播，不能推出全局阶。

直觉 ​

局部缺陷像每一步在理想起点上量出的落脚偏差；全局误差则是实际旅行者经过许多偏差后离真实轨道的距离。后一步不仅加入新的局部缺陷，还会沿动力系统放大或压缩已有偏差。Grönwall 指数把这段传播的最坏放大统一收进常数。

固定终点是阶数结论的一部分。把步长减半时，走到同一个 $T$ 需要约两倍步数：每步 $O(h^{p+1})$ 的缺陷累计成 $O(h^p)$。若终点也随 $1/h$ 远去，步数和传播常数同时变化，就不再是同一渐近问题。

例子与边界 ​

前向 Euler 从精确状态 $y(t_n)$ 出发时，Taylor 展开的积分余项给

$$y(t_n+h)=y(t_n)+hf(t_n,y(t_n))+{\int }_{t_n}^{t_n+h}(t_n+h-s)y^{″}(s)ds,$$

所以未缩放局部缺陷满足

$$\Vert d_{n+1}\Vert \le \frac{h^2}{2}\underset{s\in [t_n,t_n+h]}{sup}\Vert y^{″}(s)\Vert =O(h^2).$$

这个界对向量值状态同样成立，不需要为所有分量选择同一个中值点。对非刚性标量方程 $y^{\prime }=y$、$y(0)=1$，固定步长 Euler 给

$$y_n=(1+h{)}^n,t_n=nh.$$

在固定 $T=nh$ 下，

$$(1+h{)}^{T/h}=e^T(1-\frac{T}{2}h+O(h^2)),$$

因此全局误差为 $O(h)$。这个计算具体展示“局部二阶、全局一阶”，而不是把两个阶数作为记忆规则并列。

常数 $e^{L_{\mathrm{\Psi }}(T-t_0)}$ 可能随终止时间迅速增大。混沌或指数不稳定系统中，固定有限区间的收敛定理仍可成立，但单条数值轨道在长时间后可能与真轨道完全分离；此时应改问统计量、守恒结构或 shadowing，而不能用局部阶保证长期相位。

刚性问题还可能出现 order reduction：方法的经典阶条件成立，边界、非自治项或刚性限制却使观测到的全局阶降低。网格加密实验若未进入渐近区，或代数求解与舍入误差已经主导，也不会呈现理论斜率。

变步长求解器常用嵌入式规则或步长加倍估计当前局部缺陷，并据此接受或拒绝一步。这是后验估计，不是已知真局部误差；即使每步达到局部容差，也仍需传播分析才能解释固定终点的全局误差。

推论与应用 ​

离散化误差公理库离散化误差与截断误差Discretization error · Truncation error区分连续问题的离散缺陷与离散解的全局误差，并说明一致性为何不能单独保证收敛。提供连续问题与离散问题的通用区分，本页把它落实为 ODE 的“精确起步一步”与“累计轨道”两种量。Euler、Runge–Kutta 与多步方法应复用这套定义，再分别证明自身的光滑性、稳定性和阶条件。

可复查的收敛实验应固定终点 $T$，报告 $h_{max}$、误差范数、高精度参考或解析真解、网格比和观测斜率。若只有相邻网格差，应把结果标为误差估计；若求解器提前失败、拒步过多或未到达同一终点，则不能把数据放进同一全局阶拟合。

参考资料

• Ernst Hairer, Syvert P. Nørsett, and Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, 2nd rev. ed., Springer, 1993, Chs. II–III.
• Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, 2nd ed., Cambridge University Press, 2009, Ch. 2.
• Germund G. Dahlquist, “Convergence and Stability in the Numerical Integration of Ordinary Differential Equations,” Mathematica Scandinavica 4, 1956.