导数

差商把横向尺度缩小后观察函数增量是否稳定成某个比例；这个比例就是把非线性曲线在一点压平后的首阶信息。导数不仅是切线斜率，也是输入微扰传到输出的局部放大倍数。极限要求左右及所有趋近方式给出同一比例，因而排除了尖点、跳跃和一阶振荡。

$f(x)=|x|$ 在 $0$ 连续但不可导，因为左右差商分别为 $-1$ 与 $1$。可导必连续，连续不必可导。导数存在也不保证导函数连续，例如 $f(x)=x^2\sin \left(1/x^2\right)$ 在适当定义 $f(0)=0$ 后可导，但导数在 $0$ 附近无界振荡。

由

可直接得到 $(x^3{)}^{\prime }{|}_{x=a}=3a^2$。函数 $x^2\sin \left(1/x^2\right)$ 在零点可导，但导函数在零附近无界，说明“有导数”不等于局部变化率平稳。导数为零也不保证局部常值于单点附近；只有在区间上处处为零，结合中值定理才可推出常值。

导数从极限公理库极限Limit · Epsilon–delta limit用任意精度的邻近关系描述序列或函数趋向某个值。出发，并在可微性中被重述为最佳线性近似。Taylor 定理公理库泰勒定理Taylor's theorem足够光滑函数由有限阶导数多项式加余项表示。把更高阶导数组织成误差可控的局部模型，常微分方程公理库常微分方程Ordinary differential equation · ODE未知函数及其单一自变量导数组成的方程。则反过来把导数关系当作未知轨道的演化规律。有限差分公式公理库有限差分公式Finite-difference formulas · Finite-difference stencil用邻近节点的函数值近似导数，并以矩条件推导差分权重、截断阶和边界公式。用有限的 $h$ 近似定义中的差商极限，数值微分的截断—舍入权衡公理库数值微分中的截断—舍入权衡Numerical differentiation and roundoff · Step-size selection for finite differences以截断项和函数值舍入项的竞争解释差分误差的 U 形曲线，并据此选择步长和失败诊断。解释为何 $h$ 不能在机器算术中无限缩小。优化、灵敏度分析和数值误差传播也都依赖这一首阶近似。

乘积法则与逆函数求导都可从线性近似怎样相乘或反解得到，而不只是需要记忆的符号公式。复合情形由链式法则公理库链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。单独刻画：一维的导数乘积是线性映射复合的特例，进入高维后则成为按计算顺序相乘的 Jacobian。此时真正对应一元导数的是同时控制所有方向误差的 Fréchet 导数，而不是一张彼此独立的偏导数清单。