形式陈述

设 $f$$f$ 定义在实数点 $a$$a$ 的某邻域。若极限

$$ f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

存在且有限，则称 $f$$f$ 在 $a$$a$ 可导。等价地，存在数 $L$$L$ 使

$$ f(a+h)=f(a)+Lh+o(h), $$$$f(a+h)=f(a)+Lh+o(h),$$

且此时 $L=f'(a)$$L=f^{\prime }(a)$。在区间端点可定义单侧导数，但必须明确只从定义域内趋近。

直觉

导数是函数在一点的最佳线性近似系数。差商比较很小输入变化与相应输出变化，极限消除所选步长的影响。

例子与边界

$f(x)=|x|$$f(x)=|x|$ 在 $0$$0$ 连续但不可导，因为左右差商分别为 $-1$$-1$ 与 $1$$1$。可导必连续，连续不必可导。导数存在也不保证导函数连续，例如 $f(x)=x^2\sin(1/x^2)$$f(x)=x^2\sin \left(1/x^2\right)$ 在适当定义 $f(0)=0$$f(0)=0$ 后可导，但导数在 $0$$0$ 附近无界振荡。

推论与应用

导数给出单调性、局部极值、Taylor 逼近和微分方程的语言。链式法则、乘积法则和逆函数法则都源于线性近似的组合；高维推广是 Fréchet 导数而非逐坐标偏导的简单集合。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 5。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 5。