导数

差商先算两个不同输入之间的平均变化率，再让输入间隔缩小，检查这个变化率是否趋于同一个有限数。计算极限时始终要求 $h\ne 0$；并不是在差商中代入 $h=0$。导数的符号描述输出随输入增加而上升还是下降，其绝对值描述小扰动的一阶放大。若 $f^{\prime }(a)=0$，结论是输出变化比 $|h|$ 更小，不是输出完全不变。左右差商必须有同一极限，所以尖点与某些振荡会破坏可导性，即便函数本身仍连续。

线性近似中的“误差更小”有明确含义：给定 $\epsilon >0$，当 $|h|$ 足够小时，余量满足 $|r(h)|\le \epsilon |h|$。这比较的是误差与输入步长的比例；仅仅要求 $r(h)\to 0$ 太弱，例如 $r(h)=|h|$ 趋于零，却仍与步长同阶。

$f(x)=|x|$ 在 $0$ 连续但不可导，因为左右差商分别为 $-1$ 与 $1$。可导必连续，连续不必可导。可导推出连续的原因可直接核对：$f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a)h+r(h)$，其中两项都趋于零，所以 $f(a+h)\to f(a)$。反过来，连续只要求增量趋零，没有要求除以 $h$ 后还收敛。

由

可直接得到 $(x^3{)}^{\prime }{|}_{x=a}=3a^2$。这里还保留了有限步长的误差信息：

$(a+h{)}^3=a^3+3a^{2}h+\underset{r(h)}{\underbrace{3a{h}^2+h^3}}.$

例如 $a=2,h=0.01$ 时，线性模型给出 $8+12\times 0.01=8.12$，准确值是 $8.120601$，差为 $0.000601$。除以输入步长后得到 $0.0601$；一般地，$|r(h)|/|h|\le 3|a||h|+h^2\to 0$。导数 $12$ 因而是步长趋零后的变化率，不能把有限差商一概写成恰好等于 $12$。

再令 $g(0)=0$、$g(x)=x^2\sin \left(1/x^2\right)$（$x\ne 0$）。零点差商 $h\sin \left(1/h^2\right)$ 的绝对值不超过 $|h|$，故 $g^{\prime }(0)=0$；但在其他点

取 $x_k=(2\pi k{)}^{-1/2}$ 时，$g^{\prime }(x_k)=-2/x_k\to -\mathrm{\infty }$，所以导函数在零附近确实无界。“每点有导数”与“导函数连续”是不同承诺。例如 $f(x)=x^3$ 在 $0$ 的导数为零，但任意邻域内都不是常值。因此导数在一个点为零不保证邻域常值；只有在区间上处处为零，结合中值定理理路中值定理Mean value theorem由等高端点与内部极值导出平均变化率，区分 Lagrange、Rolle、Cauchy 版本并给出可计算的增量界。才可推出常值。

导数从极限理路极限Limit · Epsilon–delta limit用任意精度的邻近关系描述序列或函数趋向某个值。出发，也是Fréchet 可微性理路Fréchet 可微性Differentiability · Fréchet differentiability赋范空间之间的映射在一点能被单一有界线性主部一致逼近的性质。在实数输入与实数输出时的特例：线性主部 $h\mapsto f^{\prime }(a)h$ 恰好给出上面的余项条件。Taylor 定理理路泰勒定理Taylor's theorem足够光滑函数由有限阶导数多项式加余项表示。把更高阶导数组织成误差可控的局部模型，常微分方程理路常微分方程Ordinary differential equation · ODE未知函数及其单一自变量导数组成的方程。则反过来把导数关系当作未知轨道的演化规律。有限差分公式理路有限差分公式Finite-difference formulas · Finite-difference stencil用邻近节点的函数值近似导数，并以矩条件推导差分权重、截断阶和边界公式。用有限的 $h$ 近似定义中的差商极限，数值微分的截断—舍入权衡理路数值微分中的截断—舍入权衡Numerical differentiation and roundoff · Step-size selection for finite differences以截断项和函数值舍入项的竞争解释差分误差的 U 形曲线，并据此选择步长和失败诊断。解释为何 $h$ 不能在机器算术中无限缩小。优化、灵敏度分析和数值误差传播也都依赖这一首阶近似。

乘积法则与逆函数求导都可从线性近似怎样相乘或反解得到，而不只是需要记忆的符号公式。复合情形由链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。单独刻画：一维的导数乘积是线性映射复合的特例，进入高维后则成为按计算顺序相乘的 Jacobian。此时真正对应一元导数的是同时控制所有方向误差的 Fréchet 导数，而不是一张彼此独立的偏导数清单。