ODE 方法的绝对稳定域

形式陈述 ​

考虑标量测试方程

$$y^{\prime }=\lambda y,\lambda \in \mathbb{C},$$

其精确一步为 $y(t+h)=e^{h\lambda }y(t)$。当 $\mathrm{Re}\lambda <0$ 时，连续解随时间衰减。把一步数值方法应用于该方程，通常得到

$$y_{n+1}=R(z)y_n,z=h\lambda ,$$

其中 $R$ 是方法的稳定函数。绝对稳定域定义为

$$\mathcal{S}=\{z\in \mathbb{C}:|R(z)|\le 1\}.$$

若 $z\in \mathcal{S}$，该标量数值模态不会逐步放大；若 $|R(z)|<1$，它会渐近衰减。这个定义只比较离散放大，不声称 $R(z)$ 已足够接近精确因子 $e^z$。

前向 Euler 满足

$$y_{n+1}=y_n+h\lambda y_n,R_{\mathrm{FE}}(z)=1+z.$$

所以

$${\mathcal{S}}_{\mathrm{FE}}=\{z:|1+z|\le 1\},$$

即以 $-1$ 为圆心、半径为 $1$ 的闭圆盘；负实轴上只有 $-2\le z\le 0$ 稳定。连续方程即使强烈衰减，只要 $h\lambda$ 落在圆盘外，离散解仍会振荡放大。

后向 Euler 的新状态出现在右端：

$$y_{n+1}=y_n+h\lambda y_{n+1},R_{\mathrm{BE}}(z)=\frac{1}{1-z}.$$

其稳定域为

$${\mathcal{S}}_{\mathrm{BE}}=\{z:|1-z|\ge 1\},$$

包含整个闭左半平面。ODE 梯形一步法满足

$$R_{\mathrm{TR}}(z)=\frac{1+z/2}{1-z/2};$$

它同样包含左半平面，但当 $z\to -\mathrm{\infty }$ 时 $R_{\mathrm{TR}}(z)\to -1$，极快衰减模态不会被强力压到零。

对 Butcher 系数为 $(\mathsf{A},b)$ 的 $s$-stage Runge–Kutta 方法，消去 stages 可得

$$R(z)=1+z{b}^{\mathsf{T}}(I-z\mathsf{A}{)}^{-1}\mathbf{1}.$$

显式 RK 的 $\mathsf{A}$ 严格下三角，$R$ 因而是多项式；非恒定多项式不可能在整个左半平面保持有界，所以显式 RK 不可能 A-stable。经典四阶 RK 的稳定多项式为

$$R_{\mathrm{RK}4}(z)=1+z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^4}{24},$$

它在原点附近以四阶匹配 $e^z$，稳定域却仍是有界区域。隐式 RK 的 $R$ 为有理函数，可以覆盖无界左半平面，但还要实际求解 stage 方程。

若闭左半平面全部包含在 $\mathcal{S}$ 中，称方法 A-stable。若方法 A-stable，并且

$$R(z)\to 0(|z|\to \mathrm{\infty },\mathrm{Re}z<0),$$

则称其 L-stable。后向 Euler 是 L-stable；梯形一步法 A-stable 但不是 L-stable。A-stability 不给方法阶数，L-stability 也不保证大步长下的相位或幅值准确。

线性多步方法的更新含多个历史状态，测试方程会产生关于放大根 $\zeta$ 的特征多项式；其稳定性要检查全部根及重数，不能总压缩成单一 $R(z)$。零稳定性研究 $h\to 0$ 时寄生根对初值扰动的控制，与本页给定 $z=h\lambda$ 的绝对稳定域也不是同一个条件。

直觉 ​

连续衰减模态每步乘 $e^z$，数值方法则用 $R(z)$ 代替。稳定域画出的不是解曲线，而是一张“哪些步长—时间尺度组合不会把衰减误算成增长”的地图。改变 $h$ 会让同一个 $\lambda$ 沿复平面射线移动，改变方法则会换一张地图。

稳定与准确是两道门。$|R(z)|\le 1$ 只保证模态不膨胀；若 $R(z)$ 与 $e^z$ 相差很大，数值解仍可能衰减得过快、过慢或带着错误振荡。实际步长必须同时通过误差控制和稳定性检查。

例子与边界 ​

对负实 $\lambda$，前向 Euler 要求

$$0<h\le \frac{2}{|\lambda |}$$

才位于稳定圆盘。这个限制来自数值放大因子，并不等于解析解在同一时间尺度上必须被密集采样。后向 Euler 对任意 $h>0$ 都保持该标量模态衰减，却可能在 $h|\lambda |$ 不小时产生很大的离散误差；“无稳定上限”不能改写成“无精度上限”。

对常系数线性系统公理库线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。 $y^{\prime }=Ay$，一步更新是 $R(hA)$。若 $A$ 正规，$2$-范数行为可直接由特征值映射解释；若 $A$ 非正规，即使每个 $h{\lambda }_i$ 都在标量稳定域内，$\Vert R(hA{)}^n\Vert$ 仍可能出现显著瞬时增长。只画 eigenvalues 会漏掉特征向量病态和伪谱效应。

非线性系统只有局部 Jacobian，可变步长又让 $z$ 每步改变。冻结 Jacobian 的稳定图仍是有用诊断，却不是全局证明；状态离开线性化区域、Jacobian 快速变化或隐式方程求解不准时，标量稳定域不能单独保证数值轨道可靠。

方法实现应记录实际步长、估计的快速模态尺度、接受与拒绝步数，以及隐式求解失败。反复因稳定限制拒绝显式步、出现交替振荡或真实误差不随容差下降，都是需要调整方法或诊断模型的信号，而不是继续缩小绘图采样间隔。

推论与应用 ​

刚性 ODE公理库刚性常微分方程Stiff ordinary differential equation · Stiff ODE · Stiffness刻画快速衰减模态迫使显式方法使用远小于精度需求的步长这一方法相关现象，并说明隐式路线的能力与代价。正是“精度允许的步长”和“稳定域允许的步长”严重分离时最常见的场景。A-stable 方法移除整个左半平面的标量限制，L-stable 方法进一步压制极快衰减模态；具体选择仍要计入隐式 stage 或非线性方程的求解成本。

本页的绝对稳定与有限精度算法稳定性公理库数值稳定性Numerical stability · Backward stability以允许的小输入扰动刻画算法的有限精度行为，并与问题条件性及其他稳定性概念分开。、连续动力系统平衡稳定、线性多步法零稳定性分别研究不同对象。文章和软件接口应写出限定词，不用一个裸的“stable”让读者猜测。

参考资料

• Ernst Hairer and Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, 2nd rev. ed., Springer, 1996, Ch. IV.
• John C. Butcher, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, 3rd ed., Wiley, 2016, stability of Runge–Kutta methods.
• Germund G. Dahlquist, “A Special Stability Problem for Linear Multistep Methods,” BIT Numerical Mathematics 3, 1963.