平衡点稳定性

稳定性把“初值误差小”与“整个未来轨道误差受控”联系起来，是一个全时间量词；吸引性只描述足够晚时趋近，不能替代前段控制。渐近稳定同时拥有二者，指数稳定则给出统一衰减率。稳定区域往往只是平衡附近的局部集合，不能从局部线性化直接声称全局稳定。

$x^{\prime }=-x$ 的零点指数稳定，$x^{\prime }=0$ 的每个点稳定但不吸引，$x^{\prime }=x$ 的零点不稳定。线性系统 $x^{\prime }=Ax$ 在所有特征值实部严格为负时指数稳定。非线性系统在双曲平衡点附近可由线性化判断，但若线性化含零实部特征值则通常不能下结论，例如 $x^{\prime }=-x^3$ 的零点渐近稳定而线性化为零。Lyapunov 函数正定且沿轨道非增可证稳定；要证渐近稳定通常需要严格下降或 LaSalle 原理。

系统 $x^{\prime }=-x+x^3$ 的原点局部渐近稳定，但当 $|x_0|>1$ 时轨道会远离原点，因此不是全局吸引。取 Lyapunov 函数 $V=x^2/2$，在 $|x|<1$ 内有 $\dot{V}=-x^2+x^4<0$，恰好给出局部证书。仅有 $\dot{V}\le 0$ 可能只证明稳定，例如理想无阻尼振子能量恒定而轨道不趋于平衡。

动力系统公理库动力系统Dynamical system以时间加法幺半群对状态空间的作用统一描述离散迭代、流与半流。的轨道由常微分方程产生，极限语言来自极限公理库极限Limit · Epsilon–delta limit用任意精度的邻近关系描述序列或函数趋向某个值。。线性化使用特征值与有限维谱结构公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维实对称或复自伴算子存在正交规范特征向量基。判断双曲平衡；非线性或临界情形则依赖 Lyapunov 函数、不变集与更高阶项。控制设计关注的不只是收敛，还包括扰动增益和收敛速度。