平衡点稳定性

稳定性要求轨道从一开始就留在指定范围内：给定允许的偏差 $\epsilon$，可以找到足够小的初值范围 $\delta$，使整个未来都受控。吸引性关注长期归宿，允许先离开某个小邻域再返回。渐近稳定同时要求全程控制与最终返回，指数稳定进一步给出统一的衰减速度。

$x^{\prime }=-x$ 的零点指数稳定，$x^{\prime }=0$ 的每个点稳定但不吸引，$x^{\prime }=x$ 的零点不稳定。线性系统 $x^{\prime }=Ax$ 在所有特征值实部严格为负时指数稳定。对 $C^1$ 非线性系统，线性化的特征值实部全负给出局部指数稳定，存在正实部特征值则给出不稳定。零实部方向上的行为取决于高阶项。以线性化为零的 $x^{\prime }=-x^3$ 为例，其解为

它始终满足 $|x(t)|\le |x_0|$，并趋于零，故零点渐近稳定；但非零解仅按 $t^{-1/2}$ 衰减，不能由固定 $C{e}^{-\alpha t}|x_0|$ 控制，所以不是指数稳定。与它有同一个零线性化的 $x^{\prime }=x^3$ 却向外逃逸，说明零特征值处必须检查非线性项。

对 ${\mathbb{R}}^n$（$n\ge 1$）中开集上的自治 ODE $x^{\prime }=f(x)$，设 $f$ 局部 Lipschitz，取 $C^1$ 的 Lyapunov 函数 $V$，满足 $V(x_{\ast })=0$ 且邻域内其余点 $V>0$。若 $\dot{V}=\mathrm{\nabla }V\cdot f\le 0$，可用紧球面的极值定理理路极值定理Extreme value theorem连续实值函数在非空紧空间上取得最大值和最小值。证明稳定：对足够小的 $\epsilon$，球面上的最小值 $m_{\epsilon }$ 严格为正；再由 $V$ 的连续性选 $\delta$，使初始距离小于 $\delta$ 时 $V(x_0)<m_{\epsilon }$。沿轨道 $V$ 不增，所以轨道不能首次碰到该球面，并在内部紧子集中继续延拓。若 $\dot{V}$ 在去掉平衡点的邻域内严格为负，局部紧性与连续性进一步给出渐近稳定。仅有半负定时，LaSalle 原理在紧的正向不变集合内研究 $\dot{V}=0$ 中的最大不变子集；不能仅凭半负定就断言收敛到平衡点。

离散时间有不需求导的对应证书。设 $F$ 把包含原点邻域的可行集 $S\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 映回自身，$F(0)=0$。若某个非负函数 $V$ 满足 $V(F(x))\le V(x)$，在 $S$ 上有 $V(x)\ge a\Vert x{\Vert }^2$，并在原点邻域有 $V(x)\le b\Vert x{\Vert }^2$，其中 $a,b>0$，则

直接给出稳定性。若还满足 $V(F(x))-V(x)\le -c\Vert x{\Vert }^2$、$c>0$，累加后 $\sum _k\Vert F^k(x_0){\Vert }^2<\mathrm{\infty }$，于是轨道趋零。这里同时使用了可行集不变、原点附近的上界以及全轨道的下降，不能只检查其中一项。

系统 $x^{\prime }=-x+x^3$ 的原点局部渐近稳定。取 $V=x^2/2$，在 $0<|x|<1$ 内有 $\dot{V}=-x^2+x^4<0$。当 $|x_0|>1$ 时，令 $y=x^{-2}$，方程化为 $y^{\prime }=2y-2$，所以

它在

降到零，对应 $|x(t)|\to \mathrm{\infty }$。这些轨道确定地在有限时间爆破，清楚区分了原点附近的稳定性与全空间的长期行为。

理想无阻尼振子则提供稳定但不吸引的例子：能量沿轨道恒定，非零轨道始终在能量曲线上运动。

线性状态反馈理路线性状态反馈与稳定化Linear state feedback · 线性反馈稳定化用全状态反馈改变闭环谱，证明单输入可控系统的极点配置，并区分可控与可稳定。将稳定性判据用于设计：选择 $K$，让闭环矩阵 $A-BK$ 的全部特征值实部为负。不可控模态不随反馈移动，因此可稳定化的系统要求这些模态本来就稳定。

LQR理路连续时间线性二次调节器Continuous-time linear quadratic regulator · Continuous-time LQR · 连续时间LQR从零终端代价的有限时域 Riccati 解构造稳定 CARE 极限，在半正定状态代价下证明最优性与唯一性，并复算双积分器及双曲正切轨道。进一步用积分代价比较稳定控制器。例如对 $x^{\prime }=u$ 采用 $u=-kx$、$k>0$，闭环解为 $x(t)=x_0{e}^{-kt}$，而

所有这些反馈都使原点指数稳定，代价却在 $k=1$ 时最小：过小的 $k$ 消除偏差慢，过大的 $k$ 消耗更多控制能量。

共同二次 Lyapunov 证书理路共同二次Lyapunov证书Common quadratic Lyapunov certificate · Common quadratic Lyapunov function · 共同二次稳定性用同一个正定二次函数与有限顶点矩阵不等式，证明任意时变凸组合系统的统一衰减及扰动能量界。把这种能量推理扩展到参数随时间变化的线性系统：同一个常矩阵 $P\succ 0$ 若在所有顶点满足下降不等式，就控制它们的任意可测凸组合，给出统一指数衰减。各顶点分别 Hurwitz 并不足以保证这一点。加入扰动后，积分耗散不等式还给出输出能量界；非零初态的储能 $x_0^{\mathsf{T}}P{x}_0$ 必须保留。

对非平凡周期运动，比较对象改为整条闭合轨道。周期轨道稳定性理路周期轨道的轨道稳定性Orbital stability of periodic orbits · Transverse stability of a limit cycle · 周期轨道横向稳定性用到整条轨道的距离定义稳定性，将横截面严格收缩转成连续时间指数界，并以中性径向例子划清乘子判据的边界。用到轨道的距离排除纯相位位移，再以横截面的收缩控制每一圈及两圈之间的运动。相位乘子恒为1本身不是失稳证据，横向单位乘子则需要继续检查非线性项。