形式陈述

设连续时间动力系统的平衡点 $x_*$$x_{\ast }$ 满足 $\varphi_t(x_*)=x_*$${\phi }_t(x_{\ast })=x_{\ast }$。它称 Lyapunov 稳定，若

$$ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0: \|x_0-x_*\|<\delta \Longrightarrow \|\varphi_t(x_0)-x_*\|<\varepsilon\quad(t\ge0). $$$$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:\Vert x_0-x_{\ast }\Vert <\delta ⟹\Vert {\phi }_t(x_0)-x_{\ast }\Vert <\epsilon (t\ge 0).$$

若它稳定且存在邻域内所有初值满足 $\varphi_t(x_0)\to x_*$${\phi }_t(x_0)\to x_{\ast }$，则称渐近稳定；若还能以统一指数率

$$ \|\varphi_t(x_0)-x_*\|\le Ce^{-\alpha t}\|x_0-x_*\| $$$$\Vert {\phi }_t(x_0)-x_{\ast }\Vert \le C{e}^{-\alpha t}\Vert x_0-x_{\ast }\Vert$$

衰减，则称指数稳定。吸引性与稳定性是不同量词，前者单独并不蕴含后者。

直觉

稳定表示小扰动永远不会被放大到很远；渐近稳定再要求扰动最终消失；指数稳定还给出明确的恢复速度。

例子与边界

$x'=-x$$x^{\prime }=-x$ 的零点指数稳定，$x'=0$$x^{\prime }=0$ 的每个点稳定但不吸引，$x'=x$$x^{\prime }=x$ 的零点不稳定。线性系统 $x'=Ax$$x^{\prime }=Ax$ 在所有特征值实部严格为负时指数稳定。非线性系统在双曲平衡点附近可由线性化判断，但若线性化含零实部特征值则通常不能下结论，例如 $x'=-x^3$$x^{\prime }=-x^3$ 的零点渐近稳定而线性化为零。Lyapunov 函数正定且沿轨道非增可证稳定；要证渐近稳定通常需要严格下降或 LaSalle 原理。

推论与应用

平衡稳定性用于反馈控制、算法连续极限、生态平衡和物理系统抗扰性；区分稳定、吸引和指数率能避免把“最终回来”误当成全程受控。

参考资料

• Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2012，Ch. 6, stability and Lyapunov functions。
• Morris W. Hirsch, Stephen Smale, and Robert L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 3rd ed., Academic Press, 2013，Ch. 9, equilibria, linearization and stability。