有限维谱定理

普通的对角化公理库对角化Diagonalization在线性算子存在由特征向量构成的基时把其矩阵化为对角形。只问"是否存在特征向量基"，谱定理问的更多："能否用一组互相垂直、长度为一的特征向量做基"。差别在于前者的换基矩阵可以任意歪斜，后者的换基是保持长度与夹角的等距变换，因此对角化之后的几何与原来完全一致。正规性 $T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$ 恰好是让不同特征值的特征空间彼此正交、且特征空间能把全空间填满的条件——它防止的是像剪切那样"特征方向塌缩到一起"的退化。一个有用的心智模型：正规算子就是"在某组正交坐标下各轴独立伸缩（复情形还可旋转相位）"的算子，谱定理说这类算子没有别的。

实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ 的特征值为 $3$ 与 $1$，对应特征向量 $(1,1)$ 与 $(1,-1)$ 自动正交，归一化后即给出正交对角化。反面例子分两类。其一，可对角化但不正规：$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ 有特征向量基 $(1,0),(1,1)$，但两者不正交，也找不到正交的特征向量基——普通对角化推不出谱定理形式。其二，完全不可对角化的剪切 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 当然更不正规。

实与复的边界须小心：平面 ${90}^{\circ }$ 旋转 $R$ 满足 $R{R}^{\mathrm{\top }}=R^{\mathrm{\top }}R$，是正规矩阵，却没有实特征向量，故"正规当且仅当可酉对角化"不能逐字翻译成实正交对角化；实情形只有自伴算子保证正交特征基，一般实正规算子只能正交化为若干 $2\times 2$ 旋转伸缩块的分块对角形（把 $R$ 视为复矩阵则可酉对角化，特征值 $\pm i$）。另一处细节：重特征值的特征空间内部正交规范基可任意选取，因此分解到"特征空间的正交直和"是唯一的，而具体的基不唯一。

谱定理把一大类算子化为独立的谱分量。它使二次型公理库二次型Quadratic form把向量映为二次齐次标量的函数，并通过极化与对称双线性形式相联系。在正交坐标中呈现主轴，并把正定与半正定公理库正定与半正定矩阵Positive definite matrix · Positive semidefinite matrix · PSD matrix由二次能量严格为正或非负定义的实对称与复 Hermitian 矩阵。精确化为特征值符号条件，支撑协方差矩阵的正交分解。

正交特征基的存在是结构定理，不要求求解 SPD 线性系统时先计算全部特征向量；Cholesky 分解公理库Cholesky 分解Cholesky factorization · Cholesky decomposition把 Hermitian 正定矩阵唯一分解为正对角下三角因子与其共轭转置的乘积。提供直接路线，共轭梯度法公理库共轭梯度法Conjugate gradient method · CG method在 Hermitian 正定系统的 Krylov 子空间中最小化能量误差，以三项递推获得共轭方向和短存储迭代。则利用同一正定内积和谱界作迭代求解。

在算子层面，谱定理允许定义函数演算 $f(T)=U\mathrm{diag}(f({\lambda }_i))U^{\ast }$，从而构造正算子的平方根与矩阵指数；把它应用于 $T^{\ast }T$ 就得到任意矩形映射的奇异值分解公理库奇异值分解Singular value decomposition · SVD任意有限维线性映射都可在正交规范基下表示为非负对角伸缩。。向无限维推广时，紧自伴算子保留可数特征分解，一般有界自伴算子则需换成投影值测度的积分形式，见有界自伴算子谱定理公理库有界自伴算子谱定理Spectral theorem for bounded self-adjoint operatorsHilbert 空间上的有界自伴算子可由投影值测度或连续函数演算表示。。