形式陈述

有限维复内积空间上的谱定理断言：线性算子 $T$$T$ 可由一组正交归一基对角化，当且仅当它正规，即 $TT^*=T^*T$$T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$。此时

$$ T=U\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)U^* $$$$T=U\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)U^{\ast }$$

对某个酉矩阵 $U$$U$。若 $T=T^*$$T=T^{\ast }$ 自伴，则所有特征值均为实数。有限维实内积空间上，每个自伴算子（实对称矩阵）都有实正交特征基；但一般实正规算子未必能在实数上对角化，例如非平凡平面旋转只能分解成 $2\times2$$2\times 2$ 旋转块。正交/酉对角化强于普通相似对角化。

直觉

正规性保证不同谱方向彼此正交，因此不仅能找到特征向量基，还能找到保持长度和角度的最佳坐标系。

例子与边界

实对称矩阵 $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ 有正交特征向量 $(1,1)$$(1,1)$ 与 $(1,-1)$$(1,-1)$。任意酉矩阵正规，其特征值位于单位圆；任意自伴矩阵正规且谱实。剪切矩阵虽可能只有实特征值，却不正规且不可酉对角化。一个普通可对角化矩阵的特征向量基可能高度不正交，故不能推出谱定理形式。实 $90^\circ$${90}^{\circ }$ 旋转满足 $RR^\top=R^\top R$$R{R}^{\mathrm{\top }}=R^{\mathrm{\top }}R$，是正规矩阵，却无实特征向量，说明复版“正规 iff 酉对角化”不能逐字换成实正交对角化。重特征值的特征空间内可任取正交基。

推论与应用

谱定理把二次型、主成分分析、量子可观测量和稳定线性系统化为独立谱分量，并允许通过函数演算定义 $f(T)$$f(T)$。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 7, spectral theorem for normal and self-adjoint operators。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 6, symmetric and Hermitian spectral theorems。