二次型

形式陈述 ​

设 $V$ 是域 $F$ 上的向量空间。函数 $Q:V\to F$ 称为二次型，若 $Q(av)=a^{2}Q(v)$，并且它的极化

$$b_Q(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$$

是双线性形式。每个双线性形式公理库双线性映射与形式Bilinear map · Bilinear form对两个向量变量分别线性的映射；值域为标量域时称双线性形式。 $B$ 都给出二次型 $Q(v)=B(v,v)$；反过来，当 $\mathrm{char}F\ne 2$ 时，$Q$ 唯一决定对称双线性形式

$$B_Q(u,v)=\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2},Q(v)=B_Q(v,v).$$

有限维情况下选定一组基，把 $v$ 的坐标写成列向量 $x$，则存在矩阵 $A$ 使 $Q(v)=x^{\mathsf{T}}Ax$。当特征不为 $2$ 时可以且只需取唯一的对称矩阵 $A$；换基 $x=Py$ 后，矩阵按合同变为 $P^{\mathsf{T}}AP$，不是按相似变换变化。

直觉 ​

双线性形式比较两个方向，二次型只观察一个方向与自身配对后的值。它可以理解为一种“方向能量”：把向量放大 $a$ 倍，能量放大 $a^2$ 倍；把两个方向相加后新增的交叉项，则由极化揭示它们的相互作用。

二次型的矩阵只是选定坐标后的表达。真正稳定的是在可逆换基下保持不变的性质，例如秩、退化性以及实数上的惯性指数。把合同误作相似，会把“改变几何坐标”与“把矩阵看成线性算子”这两个分类问题混在一起。

例子与边界 ​

在 ${\mathbb{R}}^2$ 上，$Q(x,y)=x^2-y^2$ 的矩阵是 $\mathrm{diag}(1,-1)$。它同时取正值与负值，也会在非零向量上取零，例如 $Q(1,1)=0$；几何上，方程 $Q(x,y)=c$ 随 $c$ 的符号给出不同方向的双曲线。另一个例子

$$Q(x,y)=x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2$$

对应秩为 $1$ 的矩阵，沿直线 $x+y=0$ 完全退化。这不是改换几个系数的同类现象：前者非退化但不定，后者半正但存在整条零方向。

特征 $2$ 是实质边界。此时不能除以 $2$，而且极化会丢失平方项：在 ${\mathbb{F}}_2^2$ 上，$Q(x,y)=x^2+xy+y^2$ 的极化只剩 $x{y}^{\prime }+x^{\prime }y$，仅凭它无法恢复 $x^2$ 与 $y^2$。复数域也没有与实数兼容的序，因此“正定复二次型”不能直接用 $x^{\mathsf{T}}Ax>0$ 表述；复内积与正定性应使用共轭转置产生的 Hermitian 形式。

推论与应用 ​

在实数域上，对称矩阵的谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维实对称或复自伴算子存在正交规范特征向量基。可把二次型正交对角化，从而用正、负、零平方项的数量描述其惯性；Sylvester 惯性定律保证这些数量不依赖所选基。二次型由此组织圆锥曲线与二次曲面的分类，也刻画临界点附近 Hessian 所给的二阶变化。

在几何中，Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。逐点给切向量赋予正定二次能量；在线性代数与优化中，矩阵的正定性、最小二乘目标和局部凸性都通过 $x^{\mathsf{T}}Ax$ 表达。这里的共同核心是二次齐次结构，而不是某个特定坐标矩阵。

参考资料

• T. Y. Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, American Mathematical Society, 2005, Chapters I–II.
• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024, Chapter 9.