二次型

双线性形式比较两个方向，二次型只观察一个方向与自身配对后的值。它可以理解为一种“方向能量”：把向量放大 $a$ 倍，能量放大 $a^2$ 倍；把两个方向相加后新增的交叉项，则由极化揭示它们的相互作用。

换基保留二次型的值，却会改变系数矩阵。例如实数上的 $Q(x)=x^2$，在坐标 $x=2y$ 下写成 $4y^2$：矩阵从 $(1)$ 变成 $(4)$，正定性保持。在特征不为 $2$ 时，对称表示矩阵的秩也保持；实数上的正、负、零方向数进一步给出惯性指数。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 上，$Q(x,y)=x^2-y^2$ 的矩阵是 $\mathrm{diag}(1,-1)$。它同时取正值与负值，也会在非零向量上取零，例如 $Q(1,1)=0$；几何上，方程 $Q(x,y)=c$ 随 $c$ 的符号给出不同方向的双曲线。另一个例子

对应秩为 $1$ 的矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$，其核是直线 $x+y=0$。前者的零值来自正负项抵消，后者的零方向则属于整个配对矩阵的核，这区分了不定性与退化性。

在特征 $2$ 中，平方项的极化为零，因为 $(x+x^{\prime }{)}^2=x^2+x^{\prime 2}$。例如 ${\mathbb{F}}_2^2$ 上的 $Q(x,y)=x^2+xy+y^2$ 与 $Q^{\prime }(x,y)=xy$ 都极化为 $x{y}^{\prime }+x^{\prime }y$，但 $Q(1,0)=1$、$Q^{\prime }(1,0)=0$，所以极化保留的信息不足以恢复二次型。

复数上的长度使用 Hermitian 形式 $x^{\ast }Ax$。复双线性二次型则满足 $Q(iv)=-Q(v)$，非零向量的值会随乘以 $i$ 而翻转，无法全部作为正的平方长度。

在实数域上，对称矩阵的谱定理理路有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。可把二次型正交对角化，从而用正、负、零平方项的数量描述其惯性；Sylvester 惯性定律理路Sylvester 惯性定律Sylvester law of inertia · Inertia under congruence用最大正负子空间的维数证明实对称二次型的合同分类，给出配方换基并区分零值向量与核。用最大正、负定子空间的维数证明这些数量不依赖所选基，并给出配方得到的合同证书。二次型由此组织圆锥曲线与二次曲面的分类，也刻画临界点附近 Hessian 所给的二阶变化。

在几何中，Riemann 度量理路Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。逐点给切向量赋予正定二次能量。优化中的 Hessian 给出增量 $h$ 的二阶项 $\frac{1}{2}{h}^{\mathsf{T}}{\mathrm{\nabla }}^{2}f(x)h$；实最小二乘目标展开后，其二次项为 $x^{\mathsf{T}}{A}^{\mathsf{T}}Ax$，把曲率与矩阵的正定性联系起来。

箭图的 Euler 二次型理路箭图的 Euler 双线性型Euler form of a quiver · Tits quadratic form由顶点未知数减箭头方程建立Euler型，以参数族说明信息边界，并完成区间、End–Ext与非零扩张的三方验算。则由顶点平方和减去每条箭两端的乘积给出。对有限无环且无附加路径关系的箭图，它在维数向量上的值等于该表示的 End 维数减去自 Ext¹ 维数；同一个二次型值可以对应可分解或不可分解表示，不能单独代替矩阵分类。

在整数模上，允许的换元会改变分类问题。整数二元二次型理路整数二元二次型Integral binary quadratic form · Proper equivalence of binary quadratic forms · 二元型的正等价用整数三元组和行列式为一的整数换元研究二元型，区分本原型、本原表示与正等价，并把表示证书转换成首列换元和判别式同余。把换元限制为行列式一的整数矩阵，区分本原型、本原表示与正等价；实数合同分类不能代替这个整数分类。正定时，二元型约化理路正定二元型约化Reduction of positive definite binary quadratic forms · Gauss reduction of binary quadratic forms · 约化正定二元型通过整数剪切和带符号交换将正定二元型化为唯一边界代表，输出总SL₂换元证书，并以判别式界穷尽全部正等价类。还给出唯一规范三元组和总换元矩阵，可把约化后的整数表示逐项送回原坐标。

对于三元非退化二次型，射影圆锥理路射影圆锥的有理点与参数化Projective conic parametrization · Rational parametrization of a conic · 非退化射影圆锥 · 五点确定圆锥曲线在特征不为二的域上，由一个已有点构造一般非退化圆锥的完整参数与逆，并从无三点共线的五个点恢复唯一方程。将合同换元转成完整点参数和五点恢复。极点极线理路圆锥的极点极线与对偶Conic polarity and duality · Pole and polar of a conic · 圆锥极性 · 对偶圆锥用非退化圆锥的矩阵在点和线间可逆转换，证明切线与对偶方程，并通过实切线数量和割线调和对核验域与坐标条件。则直接使用对称配对，把点送为线、以逆矩阵恢复极点；存在有理极线并不保证切线接触点也在有理数域。

非退化的零方向也可以编码非交换乘法 ​

四元数 $(a,b{)}_F$ 的约化范数理路四元数代数与约化范数Quaternion algebra · Reduced norm of a quaternion algebra · 四元数约化范数从四个坐标的非交换乘法构造四元数代数，证明共轭、约化范数与双侧逆，并区分除代数、分裂代数和普通左乘行列式。为 $t^2-a{x}^2-b{y}^2+ab{z}^2$。其矩阵在 $ab\ne 0$ 时始终非退化，但是否存在非零零向量仍依赖基域。四元数分裂定理理路四元数分裂的范数与矩阵证书Splitting criterion for quaternion algebras · Quaternion norm equation · 四元数分裂判据证明四元数分裂、非零零范数、二次范数方程与圆锥有点等价，并把一个解转成原域上的矩阵同构及逆坐标。证明，这个零向量存在当且仅当代数是 $M_2(F)$，亦当且仅当圆锥 $X^2-a{Y}^2-b{Z}^2=0$ 有 $F$-点。

以 $a=2,b=3,F=\mathbb{Q}$ 为例，圆锥有实点，却没有有理点：假设有本原整数解，模三迫使 $X,Y$ 都被三整除，再代回迫使 $Z$ 也被三整除，矛盾。这显示实数惯性与有理数各向同性是不同的判定任务；不能仅凭正负平方项同时出现就断定有理域上存在零向量。