Cholesky 分解

形式陈述 ​

若 $A\in {\mathbb{F}}^{n\times n}$ 是Hermitian 正定矩阵公理库正定与半正定矩阵Positive definite matrix · Positive semidefinite matrix · PSD matrix由二次能量严格为正或非负定义的实对称与复 Hermitian 矩阵。，则存在唯一的下三角矩阵 $L$，其对角元均为正实数，并满足

$$A=L{L}^{\ast }.$$

实数情形即 $A=L{L}^{\mathsf{T}}$。逐列比较矩阵元素得到递推

$$l_{jj}=\sqrt{a_{jj}-\sum _{k=1}^{j-1}|l_{jk}{|}^2},$$

以及对 $i>j$，

$$l_{ij}=\frac{a_{ij}-\sum _{k=1}^{j-1}{l}_{ik}\overline{l_{jk}}}{l_{jj}}.$$

正定性保证精确算术中每个平方根的被开方数严格为正，因此算法无需通用 LU 的行主元。反过来，递推若在精确算术中得到非正主元，就证明输入不是正定矩阵。

稠密 Cholesky 分解约需 $n^3/3$ 次浮点运算，只存一个三角因子；相比通用 LU 的约 $2n^3/3$，它利用 Hermitian 结构节省近一半工作和存储。求解 $Ax=b$ 时执行

$$Ly=b,L^{\ast }x=y,$$

即两次三角求解公理库三角线性方程求解Triangular solve · Forward substitution · Backward substitution按依赖顺序用前代或回代求解三角系统，作为 LU、Cholesky 与 QR 分解后的共同计算底层。。输入是声明为 Hermitian 的矩阵，输出是 $L$ 或明确的非正定失败；完成时应确认所有对角元有限且为正，并用因子重构误差或求解残差核对结果。

标准实现对正定输入后向稳定：计算因子可解释为

$$A+\mathrm{\Delta }A=\hat{L}{\hat{L}}^{\ast },\Vert \mathrm{\Delta }A\Vert \lesssim nu\Vert \hat{L}{\Vert }^2,$$

具体常数依实现与范数而定。若矩阵非常接近半正定边界，舍入可能让理论上很小的正主元变成非正；这既是数值诊断，也提示条件性差，不能通过随意取绝对值把失败藏起来。

直觉 ​

正定矩阵给每个非零方向分配正能量。Cholesky 因子把这份耦合能量改写成普通 Euclidean 长度：

$$x^{\ast }Ax=x^{\ast }L{L}^{\ast }x=\Vert L^{\ast }x{\Vert }_2^2.$$

递推每一步从当前对角能量中扣除已经由前面列解释的部分，剩余严格为正，才产生新的独立方向。零剩余表示新方向没有能量，不再正定；负剩余则暴露不定性。

例子与边界 ​

矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$$

的顺序主子式为 $4$ 与 $8$，所以正定。递推给出

$$L=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& \sqrt{2}\end{array}\right),L{L}^{\mathsf{T}}=A.$$

这份因子既是正定性的证书，也能直接用于两次三角求解。

半正定矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

在第二步产生零主元，标准正定 Cholesky 无法继续；对称不定矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ 则产生负的第二被开方数。仅仅“矩阵对称”绝不足以调用本算法，半正定、近半正定和对称不定必须分别处理。

Gram 矩阵 $B^{\ast }B$ 总是半正定，只有 $B$ 满列秩时才正定。虽然这使正规方程能够形式上使用 Cholesky，但显式形成 $B^{\ast }B$ 会把 $2$-范数条件数平方；因此最小二乘的默认计算路线仍是 QR 或 SVD，而不是“正规方程加 Cholesky”。

推论与应用 ​

Cholesky 是正定线性系统、Gaussian 过程协方差、二次优化和能量离散中的标准直接分解。它还为共轭梯度法提供正定几何，并可作为检查输入是否数值上远离半正定边界的实用信号。

不完全 Cholesky 只保留部分填充，用作稀疏迭代法的预条件器；它是近似因子，不等于本页的精确分解定理。半正定秩亏问题可采用带主元或秩揭示变体，但不能把标准正定算法的唯一性和稳定结论原样搬过去。

参考资料

• Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations, 4th ed., Johns Hopkins University Press, 2013, §4.2.
• Nicholas J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd ed., SIAM, 2002, Ch. 10.
• LAPACK Users’ Guide, Cholesky Factorization.