形式陈述

实向量空间上的内积是对称、双线性、正定映射 $\langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb R$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{R}$。复向量空间上采用 Hermitian 内积：本条约定第一变量共轭线性、第二变量线性，并满足

$$ \langle v,w\rangle=\overline{\langle w,v\rangle},\qquad \langle v,v\rangle>0\ (v\ne0). $$$$⟨v,w⟩=\overline{⟨w,v⟩},⟨v,v⟩>0(v\ne 0).$$

它诱导范数 $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$$\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}$ 和正交关系 $v\perp w$$v\perp w$。Cauchy–Schwarz 不等式

$$ |\langle v,w\rangle|\le\|v\|\|w\| $$$$|⟨v,w⟩|\le \Vert v\Vert \Vert w\Vert$$

导出三角不等式。有限维中 Gram–Schmidt 可把任意线性无关组正交归一化。

直觉

内积在向量空间中加入长度和角度，使代数上的线性组合获得几何意义；正定性保证只有零向量长度为零。

例子与边界

$\mathbb R^n$${\mathbb{R}}^n$ 的标准内积为 $x^\top y$$x^{\mathrm{\top }}y$；$\mathbb C^n$${\mathbb{C}}^n$ 为 $\sum_i\overline{x_i}y_i$$\sum _i\overline{x_i}{y}_i$。加权形式 $\langle x,y\rangle=x^\top Ay$$⟨x,y⟩=x^{\mathrm{\top }}Ay$ 在实数上只有当 $A$$A$ 对称正定时才是内积。Minkowski 形式虽对称非退化，却非正定，因此不是内积。复数上的纯双线性式 $x^\top y$$x^{\mathrm{\top }}y$ 可能令非零向量自配对为零，不能替代 Hermitian 形式。不同教材可能把线性变量放在第一槽，本条公式与后续伴随定义必须保持一致。无限维内积空间不一定完备；完备后才是 Hilbert 空间。

推论与应用

内积支撑最小二乘、正交投影、Fourier 展开和谱定理，并把数值稳定性与几何误差转化为范数估计。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 6, inner products, orthonormal bases, and Gram–Schmidt。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 6, Euclidean and Hermitian spaces。