内积空间

裸的向量空间只有线性组合，谈不上长短与方向。内积把长度、角度与垂直放进同一个标量配对；Cauchy–Schwarz 保证实情形下 $⟨v,w⟩/(\Vert v\Vert \Vert w\Vert )$ 落在 $[-1,1]$，夹角因而有定义。

三条公理各自排除一种失真。正定性禁止非零方向拥有零长度；线性性让配对与叠加、缩放相容；复情形的共轭对称则保证 $⟨v,v⟩$ 是可比较的非负实数。若在复空间照搬纯双线性，就会出现 $⟨iv,iv⟩=-⟨v,v⟩$，长度的正性立即崩塌。

最有用的心智模型是“对齐度”。内积衡量一个向量在另一个方向上的成分，正交表示彼此没有可检测的分量；于是分解向量不再只是求解坐标方程，也可以通过投影逐个抽取方向。

标准例子是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的 $⟨x,y⟩=x^{\mathrm{\top }}y$ 与 ${\mathbb{C}}^n$ 上的 $⟨x,y⟩=\sum _i\overline{x_i}{y}_i$。函数空间的例子同样根本：$[0,2\pi ]$ 上的连续函数配

构成内积空间。直接计算 ${\int }_0^{2\pi }\sin x\cos xdx=0$，便得到 $\sin$ 与 $\cos$ 正交；这正是 Fourier 分解的几何起点。

加权形式 $⟨x,y⟩=x^{\mathrm{\top }}Ay$ 在实空间上是内积，当且仅当 $A$ 对称正定。若取 $A=\mathrm{diag}(1,0)$，它只有半正定性，非零向量 $e_2$ 满足 $⟨e_2,e_2⟩=0$，所以正定性失效。

对称非退化并不等于正定：${\mathbb{R}}^2$ 上的 Minkowski 型形式 $⟨x,y⟩=x_1{y}_1-x_2{y}_2$ 让 $(1,1)$ 自配对为零，故不是内积。它可以承载另一类几何，却不产生本页要求的正定长度。

复空间上照搬实双线性同样失败：$v=(1,i)\in {\mathbb{C}}^2$ 满足 $v^{\mathrm{\top }}v=1+i^2=0$，这正解释了复内积为何必须带共轭。不少教材让第一变量线性；两种约定下伴随公式相差共轭位置，本库统一采用第一变量共轭线性，并与伴随算子公理库伴随算子Adjoint operator有限维内积空间中把线性映射从内积一侧移到另一侧的唯一算子。保持一致。

平行四边形恒等式公理库平行四边形恒等式的内积刻画Jordan–von Neumann theorem · Parallelogram law characterization范数来自实或复内积，当且仅当它满足平行四边形恒等式。精确判断一个范数能否来自内积。对 ${\mathbb{R}}^2$ 上的 $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$，取 $x=(1,0)$、$y=(0,1)$，两条对角线的平方和为 $2$，四边平方和为 $4$，所以它不是任何内积的诱导范数。

无限维内积空间在诱导范数下未必完备。连续函数空间配上述积分内积就是例子；完成缺失极限后进入 Hilbert 空间公理库Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。，这也是 $L^2$ 比连续函数类更适合承载平方可积极限的原因。

正交分解、投影与后继结构 ​

对线性无关组施行Gram–Schmidt 过程公理库Gram–Schmidt 正交化Gram–Schmidt process把有限线性无关组逐步转化为张成同一子空间的正交规范组。可得到标准正交基公理库正交规范基Orthonormal basis由单位长度且两两正交的向量组成的基。。若 $(e_1,\dots ,e_n)$ 是有限维空间的正交规范基，则

第一式把坐标变成内积，第二式是有限维 Parseval 等式。它们展示正交族怎样把几何问题分解成互不干扰的标量分量。

对线性子空间 $M\subseteq V$，正交补定义为

有限维时有 $V=M\oplus M^{\perp }$；无限维时要得到同样的正交分解，通常必须要求 $M$ 闭并进入 Hilbert 空间投影定理。正交补因此是内积空间中的基本接口，最近点存在则属于更强的完备性结论。

对单个非零方向 $u$，投影具有直接公式

余量 $v-Pv$ 与 $u$ 正交，所以任意改用 $cu$（$c\ne 0$）都会得到同一个投影。这说明投影依赖的是子空间方向，而不是所选基向量的长度或相位。对一般闭子空间的最近点存在唯一性属于Hilbert 空间投影定理公理库Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。；本页的一维公式不能替代完备性与闭性假设。

投影还给出勾股分解

最小二乘与 Fourier 系数都使用这条几何事实：误差落在所选子空间的正交补中。统计推断或数值稳定性仍需额外模型，不能由投影公式单独推出。

保持内积的线性变换在有限维中由正交矩阵或酉矩阵公理库正交矩阵与酉矩阵Orthogonal matrix · Unitary matrix · 酉矩阵在实或复内积空间中保持内积的方阵，其逆分别等于转置或共轭转置。表示；列正交的长方矩阵只给等距嵌入，不能沿用方阵的双侧逆。内积还定义伴随算子，复空间中的共轭位置沿用本页已经固定的半双线性约定。

无限维正交级数与投影极限需要完备性，完备的内积空间才是 Hilbert 空间。这些后继继续使用本页的内积约定，但不会反过来成为内积定义的一部分。