格上的 Minkowski 第一定理

把 $\frac{1}{2}K$ 中的点按格陪集投到基本区域。若 $\mathrm{vol}(K)>2^k\det \mathrm{\Lambda }$，则 $\frac{1}{2}K$ 的体积大于一个基本区域，投影不可能几乎处处一一对应：存在不同的 $x,y\in \frac{1}{2}K$ 落在同一陪集，于是 $x-y\in \mathrm{\Lambda }\setminus \{0\}$。

中心对称和凸性恰好保证差仍落在 $K$。由 $x,-y\in \frac{1}{2}K$，凸性给 $(x-y)/2\in \frac{1}{2}K$，故 $x-y\in K$。若去掉这两个形状条件，大体积可以被分散到许多避开格点的碎片中，上述碰撞无法转化为 $K$ 内的非零格向量。

定理是一条存在性原理：余体积迫使某处出现短点，却不指出短点坐标，也不保证给定基能高效找到它。复杂性理论中的最短向量算法问题正从这道“存在—构造”鸿沟开始。

对 $\mathrm{\Lambda }={\mathbb{Z}}^2$，$\det \mathrm{\Lambda }=1$。半径 $R$ 的圆盘面积为 $\pi R^2$；只要 $R>2/\sqrt{\pi }\approx 1.128$，定理保证存在非零整数点。实际最短点 $(\pm 1,0),(0,\pm 1)$ 的长度为 $1$，说明体积界普适但通常不紧。

常数 $2^k$ 不能在这个一般版本中随意减小。开正方形 $K=(-1,1{)}^2$ 凸且中心对称，面积恰为 $4=2^2\det {\mathbb{Z}}^2$，却不含非零整数点；这直接说明对非闭集合使用“面积至少为 $4$”会错。闭方形 $[-1,1{]}^2$ 在边界含非零点，二者差异正由严格性处理。

若把 $K$ 平移到不再以原点对称，即使体积很大，差点论证也只说明 $K-K$ 中有格点，不一定在 $K$ 自身。若 $K$ 不凸，两个半体中的碰撞差也可能落到缺口。对低秩格还必须使用 $V_{\mathrm{\Lambda }}$ 的 $k$ 维体积；拿环境 $n$ 维体积衡量 $K\subset V_{\mathrm{\Lambda }}$ 会恒为零。

粗界 ${\lambda }_1\le \sqrt{k}\det {\left(\mathrm{\Lambda }\right)}^{1/k}$ 是许多格算法和密码参数估计的基准：它把可找到的短向量长度与平均点密度联系起来。但它只给上界，不给典型长度、唯一性或计算时间；把它当作攻击算法会混淆存在证明与构造过程。

对同余条件定义的子格，先通过格余体积公理库格行列式Lattice determinant · Lattice covolume · 格余体积欧氏格基本平行多面体在其实张成空间中的内在体积。或指数求出 $\det \mathrm{\Lambda }$，再应用本定理，常能证明某个非零短整数解存在。这是 SIS 存在性分析的几何核心之一；还需另行确保找到的向量模 $q$ 非零、长度界低于平凡解尺度，并区分存在与平均情形困难性。