欧氏格

欧氏格把连续空间打上周期性刻度。沿每个 $b_i$ 只能走整数步，所以局部看见的是彼此隔开的点；允许实系数后，这些方向才填满 $V_{\mathrm{\Lambda }}$。这正好把两类信息分开：内积给长度和角度，整数系数给算术刚性。

一个基本平行多面体

为每个陪集 $x+\mathrm{\Lambda }$ 选出一个代表。空间被平移副本 $\mathcal{P}(B)+\lambda$ 铺满，边界虽可能共享，内部不会重叠。格问题因此常在两种视角间切换：局部寻找短点，或把任意点约化到一个基本区域。

离散性还意味着存在最小间隔。若 $\mathrm{\Lambda }\ne \{0\}$，则非零长度集合在零附近没有聚点，故最短非零向量长度为正。这个性质让“短于某阈值的所有格点”成为有限集合，也是解码半径能够按最短向量刻画的原因。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中取

点 $(5,3)$ 对应 $(u,v)=(2,1)$，而 $(1,0)$ 不在格中：第二坐标迫使 $v=0$，第一坐标便必须是偶数。基本平行四边形由 $(2,0)$ 与 $(1,3)$ 张成；把 $x=(6.4,4.2)$ 写成 $Bt$ 后逐坐标减去 $\lfloor t\rfloor$，即可把它移回 $\mathcal{P}(B)$。这个约化只找陪集代表，并不自动给出离 $x$ 最近的格点。

低秩例子是 $\mathrm{\Lambda }=\mathbb{Z}(2,0,2)\subset {\mathbb{R}}^3$。它的环境有三维，格却只有一维；任何余体积或对偶计算都应在直线 $V_{\mathrm{\Lambda }}$ 中完成。把垂直于该直线的任意向量也算进对偶，会得到连续方向，从而不再是同秩格。

线性无关条件不能随意删除。在 $\mathbb{R}$ 中，$G=\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$ 由两个元素有限生成，却因存在任意好的有理逼近 $|p-q\sqrt{2}|\to 0$ 而在零附近有非零点；$G$ 不是欧氏格。反过来，有限集合如 $\{0,1\}$ 虽离散，却不是加法子群。

选择基以后，欧氏格可用整数矩阵运算表示；改变基只允许行列式为 $\pm 1$ 的整数坐标变换。格行列式公理库格行列式Lattice determinant · Lattice covolume · 格余体积欧氏格基本平行多面体在其实张成空间中的内在体积。测量一个基本区域的内在体积，对偶格公理库对偶格Dual lattice · Reciprocal lattice · 倒易格格张成空间中与每个原格点内积为整数的全部向量所成之格。记录所有对格点取整数值的线性频率。二者都属于格本身，不能依赖绘图时偶然选择的基。

最短向量、最近向量与有界距离解码分别问格中“离零最近”“离目标最近”以及承诺半径内的唯一最近点。密码学归约还会构造带同余约束的 q-ary 格，并在其上使用离散高斯。所有这些后继都复用本页的三个约定：实内积、整数生成、以及低秩时只在 $V_{\mathrm{\Lambda }}$ 内做几何。

正交变换保持全部长度、角度和余体积，因此把格旋转后得到的是等距格；整体缩放 $c\mathrm{\Lambda }$ 则把长度乘 $|c|$、把秩 $k$ 余体积乘 $|c{|}^k$。这两类变换常用于归一化证明，但只有正交变换保持原来的数值尺度，缩放后的密码参数必须同步调整。