格上的有界距离解码

以每个格点为中心画半径略小于最小点间距一半的球，这些球互不相交。发送格点受到小噪声扰动后，目标仍留在原球中，解码就是辨认它来自哪一球。半距离不是经验常数，而是由最近两个格点之间不能共享严格半径球直接推出。

一般 CVP 的目标可以靠近 Voronoi 边界，甚至离格很远；BDD 则用“小噪声”承诺换取唯一性，并常借助陷门获得高效算法。唯一解存在仍不意味着公开基能高效找到它：承诺消除了答案歧义，没有消除计算困难。

把阈值写成严格不等式也区分了充分保证与实例事实。有些边界点仍恰好只有一个最近格点，但对所有格统一保证唯一性的最大通用开半径不能超过 ${\lambda }_1/2$。

取 $\mathrm{\Lambda }=2{\mathbb{Z}}^2$，则 ${\lambda }_1=2$。目标

到原点的距离为 $\sqrt{0.85}\approx 0.922<1={\lambda }_1/2$，所以唯一最近点必为 $(0,0)$。直接核对，最近的其他候选 $(0,2)$ 距离为 $\sqrt{2.05}>1$，与唯一性证明一致。这里噪声在两个坐标上都不小于简单的“逐坐标小于半格距”口号，真正条件是整体欧氏长度。

把目标改为 $t=(1,0)$，它到 $(0,0)$ 与 $(2,0)$ 都恰为 $1={\lambda }_1/2$，唯一性立即失败。这说明正文中的 $<$ 不能写成 $\le$。另一方面，$t=(0.8,0.5)$ 到原点约为 $0.943<1$；是否满足承诺必须按范数计算，不能分别比较坐标后把两个误差界相加。

若使用近似估计 $L\le {\lambda }_1$ 来设置半径，条件 $\Vert e\Vert <L/2$ 仍安全但可能保守；若手中只有上界 $U\ge {\lambda }_1$，写成 $\Vert e\Vert <U/2$ 则不能保证唯一。密码参数中混淆上下界方向会直接破坏正确性论证。

BDD 为格陷门函数、Gaussian 原像采样与某些 LWE 解密过程提供统一的几何语言：公开实例给出目标，秘密陷门提供足够好的基或采样结构，使合法噪声范围内的最近点可恢复。具体构造还必须证明噪声尾界、失败概率与实现精度，不能只引用唯一性。

BDD 与对偶格上的离散 Gaussian 之间存在参数化归约，也是 LWE 最坏情形—平均情形分析的重要接口。归约会改变格、误差宽度和近似因子；“能解某半径的 BDD”不能无条件替换成精确 CVP 或任意参数的 LWE 求解器。