形式陈述

设 $V,W,U$$V,W,U$ 为域 $F$$F$ 上的向量空间。双线性映射是函数

$$ B:V\times W\to U $$$$B:V\times W\to U$$

使固定任一变量后，对另一变量均为线性映射；当 $U=F$$U=F$ 时称为双线性形式。以下对称、交替、非退化与矩阵表示均针对 $V=W$$V=W$ 的标量值形式。对称性指 $B(v,w)=B(w,v)$$B(v,w)=B(w,v)$，反对称性指 $B(v,w)=-B(w,v)$$B(v,w)=-B(w,v)$，交替性指对所有 $v$$v$ 都有 $B(v,v)=0$$B(v,v)=0$。若左根基 $\{v:B(v,w)=0\ \forall w\}$$\{v:B(v,w)=0\mathrm{\forall }w\}$ 与右根基 $\{w:B(v,w)=0\ \forall v\}$$\{w:B(v,w)=0\mathrm{\forall }v\}$ 都为零，则称非退化；当两侧有限维且维数相等时，检验一侧已足够。有限维选基后，标量值形式可写为 $B(v,w)=x^\top Ay$$B(v,w)=x^{\mathrm{\top }}Ay$；同一空间同时换基时矩阵按合同 $A\mapsto P^\top AP$$A\mapsto P^{\mathrm{\top }}AP$ 变化，而不是相似变换。复数内积通常是 sesquilinear，不是复双线性型。特征 $2$$2$ 中交替型必对称，反对称与交替需谨慎区分。

直觉

双线性映射把两个输入分别线性地组合；其中双线性形式用一个标量测量两向量的成对关系。它分别线性，所以可由基向量两两配对的矩阵完全决定。

例子与边界

标准点积 $B(x,y)=x^\top y$$B(x,y)=x^{\mathrm{\top }}y$ 是实向量空间上的对称非退化双线性型。平面上的 $B(x,y)=x_1y_2-x_2y_1$$B(x,y)=x_1{y}_2-x_2{y}_1$ 是交替非退化型，测量有向面积。矩阵 $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 给出退化型，因为第二个基向量与所有向量配对为零。双线性并不蕴含正定，也不蕴含对称；Minkowski 型有非零向量自配对为负或零。二次型 $q(v)=B(v,v)$$q(v)=B(v,v)$ 在特征不为 $2$$2$ 时可通过极化恢复对称部分，在特征 $2$$2$ 时信息关系不同。

推论与应用

双线性型统一内积、辛形式、二次型和对偶配对；其秩、根基与合同分类用于几何、表示论和多线性代数。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 9, bilinear forms and matrices。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 8, bilinear forms and congruence。