双线性映射与形式

双线性映射把两个输入分别线性地组合；其中双线性形式用一个标量测量两向量的成对关系。它分别线性，所以可由基向量两两配对的矩阵完全决定。双线性形式不是“两个向量的乘法”，而是把一对方向压缩成一个标量，同时对每个输入保持线性。固定其中一个变量后，它就是一个线性泛函，因此整个形式可视为从 $V$ 到 $V^{\ast }$ 的线性映射。退化性恰好表示这个映射有核：存在非零方向对所有测试向量都不可见。

标准点积 $B(x,y)=x^{\mathrm{\top }}y$ 是实向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。上的对称非退化双线性型。平面上的 $B(x,y)=x_1{y}_2-x_2{y}_1$ 是交替非退化型，测量有向面积。矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 给出退化型，因为第二个基向量与所有向量配对为零。双线性并不蕴含正定，也不蕴含对称；Minkowski 型有非零向量自配对为负或零。自配对产生的二次型公理库二次型Quadratic form把向量映为二次齐次标量的函数，并通过极化与对称双线性形式相联系。及特征 $2$ 的极化边界由独立页面处理。平面交替形式在交换两个输入时变号，而在特征 $2$ 上“反对称”与“交替”不能混为一谈，因为 $-1=1$。

双线性型统一内积、辛形式和对偶配对：对称正定形式产生内积空间公理库内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。，其矩阵判据集中在正定与半正定矩阵公理库正定与半正定矩阵Positive definite matrix · Positive semidefinite matrix · PSD matrix由二次能量严格为正或非负定义的实对称与复 Hermitian 矩阵。；非退化交替形式产生辛几何，Minkowski 型则描述不定度量。借助对偶空间公理库对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。，双线性形式还可定义正交补与伴随算子；二次型公理库二次型Quadratic form把向量映为二次齐次标量的函数，并通过极化与对称双线性形式相联系。保留自配对的二次齐次信息，并引出合同分类而非算子相似分类。

进入变分形式公理库变分形式与弱问题Variational formulation · Weak formulation通过检验函数与分部积分把强微分方程改写为低正则性空间中的连续弱问题，并明确边界条件与适定性。并进一步采用Galerkin 方法公理库Galerkin 方法Galerkin method · Galerkin discretization在有限维试探与检验空间中离散连续变分问题，并用 Galerkin 正交、Céa 准最优性及稳定条件组织误差。后，双线性之外还必须指定赋范空间，并验证连续性与 coercivity 或相应的 inf–sup 条件；这些都是数值离散所需的附加分析性质。