双线性映射与形式

“双线性”是分别线性。最简单的例子是实数乘法 $B(x,y)=xy$：固定 $y$，它把 $x$ 线性缩放；同时把两个输入乘以 $t$，输出则变成 $t^{2}xy$，因为两个变量各贡献一个因子 $t$。

更一般地，若 $B$ 在乘积空间上还满足联合线性，那么

所以同时满足双线性与联合线性的只有零映射。一般的双线性展开还包含交叉项，例如 $B(v+v^{\prime },w+w^{\prime })$ 有四项，每个输入方向都与另一侧的两个方向分别配对。

对标量值形式，固定 $v$ 后，$w\mapsto B(v,w)$ 是一个线性泛函。整个形式因而给出从 $V$ 到对偶空间理路对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。 $W^{\ast }$ 的线性映射；左根基是它的核。一个非零向量落在根基里，表示无论用哪个 $w$ 去测试，它都完全不可见。

点积、面积与不可见方向 ​

实空间中的 $B(x,y)=x^{\mathsf{T}}y$ 对称且非退化。平面上的

则测量有向面积：交换输入使面积变号，同一向量与自身围出的面积为零。它仍然非退化，因为一个向量若与 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 配对都为零，两个坐标便都为零。

形式 $B(x,y)=x_1{y}_1$ 是退化的，$(0,1)$ 与任何向量配对都为零。与此不同，不定形式

是非退化的，却满足 $B((1,1),(1,1))=0$。向量与自身配对为零，不等于它与所有向量配对为零；前者是各向同性现象，后者才是根基问题。非退化也不保证正定，因为 $(0,1)$ 的自配对为 $-1$。

基向量的配对表决定全部形式 ​

若 $(e_i{)}_{i=1}^m$、$(f_j{)}_{j=1}^n$ 分别为 $V,W$ 的基，令 $A_{ij}=B(e_i,f_j)$。对 $v=\sum _i{x}_i{e}_i$、$w=\sum _j{y}_j{f}_j$，双线性给出

因此 $m\times n$ 个基向量配对值完全决定形式。若新坐标满足 $x=P{x}^{\prime }$、$y=Q{y}^{\prime }$，则新矩阵为 $P^{\mathsf{T}}AQ$。在同一空间使用同一套换基理路换基与坐标变换Change of basis · Coordinate transformation用可逆过渡矩阵在不同基之间转换向量坐标与算子矩阵。时，它变为

称为合同变换；线性算子的换基则是 $P^{-1}AP$，两者处理的对象不同。

例如 ${\mathbb{R}}^2$ 上的标准点积在新基 $b_1=(1,1),b_2=(1,-1)$ 下矩阵为 $2I$，因为这两个基向量正交但长度为 $\sqrt{2}$。反过来，恒等算子在任何基下都仍由 $I$ 表示。这个例子直接显示了配对矩阵与算子矩阵的差别。

特征为二时的交替性与复数上的共轭 ​

交替性总能推出反对称性：展开 $B(v+w,v+w)=0$，消去两个自配对项即可得到 $B(v,w)+B(w,v)=0$。反方向由 $2B(v,v)=0$ 出发，只有在 $\mathrm{char}F\ne 2$ 时才能除以 $2$。

在 $F={\mathbb{F}}_2$ 上，$B(x,y)=xy$ 对称，也满足反对称，因为 $-1=1$；但 $B(1,1)=1$，所以它不交替。这里“反对称”只要求矩阵满足 $A^{\mathsf{T}}=-A$，没有自动要求对角线为零。

复数内积采取另一条路线：$⟨x,y⟩=\sum _i\overline{x_i}{y}_i$ 对第一变量共轭线性，对第二变量线性，属于半双线性形式理路半双线性形式Sesquilinear form一个变量线性、另一个变量按标量对合共轭线性的二元形式。。若要求复双线性且正定，便会同时得到 $B(iv,iv)=-B(v,v)$，与非零向量的正长度冲突。

在实空间中，对称正定双线性形式产生内积理路内积空间Inner product space带正定对称双线性形式或正定 Hermitian 半双线性形式的向量空间。；非退化交替形式则提供辛结构理路辛向量空间Symplectic vector space构造交替非退化配对的标准辛基，计算辛正交补，并得到Lagrangian维数界与线性约化。。相同的“双线性”条件允许不同几何，具体由对称性、退化性和符号决定。矩阵上的正定判据见正定与半正定矩阵理路正定与半正定矩阵Positive definite matrix · Positive semidefinite matrix · PSD matrix由二次能量严格为正或非负定义的实对称与复 Hermitian 矩阵。。

辛基构造把任意这样的实配对拆成标准二维块，从而证明维数必偶；对子空间还须用辛正交补判断各向同性与Lagrangian条件。它不同于欧氏正交：Lagrangian子空间的辛正交补正是它自己。

自配对 $q(v)=B(v,v)$ 给出二次型理路二次型Quadratic form把向量映为二次齐次标量的函数，并通过极化与对称双线性形式相联系。。当特征不为 $2$ 且 $B$ 对称时，

所以在这一条件下，自配对信息足以恢复全部形式。交替形式的自配对则恒为零：例如上面的面积形式虽非零，它的 $q$ 仍是零函数。在特征 $2$ 中，极化保留哪些信息由二次型理路二次型Quadratic form把向量映为二次齐次标量的函数，并通过极化与对称双线性形式相联系。条目进一步说明。

在变分形式理路变分形式与弱问题Variational formulation · Weak formulation通过检验函数与分部积分把强微分方程改写为低正则性空间中的连续弱问题，并明确边界条件与适定性。和Galerkin 方法理路Galerkin 方法Galerkin method · Galerkin discretization在有限维试探与检验空间中离散连续变分问题，并用 Galerkin 正交、Céa 准最优性及稳定条件组织误差。中，$B(u,v)$ 把待求函数与测试函数配对。选取基函数 ${\varphi }_i$ 后，刚度矩阵的条目就是 $B({\varphi }_i,{\varphi }_j)$；双线性把函数的配对展开为系数的矩阵运算。连续性、强制性或 inf–sup 条件则用空间的范数定量控制解及离散误差。