形式陈述

域 $F$$F$ 上向量空间 $V$$V$ 的对偶空间为

$$ V^*=\operatorname{Hom}_F(V,F), $$$$V^{\ast }={\mathrm{Hom}}_F(V,F),$$

其元素称线性泛函。若 $V$$V$ 有有限基 $v_1,\ldots,v_n$$v_1,\dots ,v_n$，则存在唯一对偶基 $v^1,\ldots,v^n$$v^1,\dots ,v^n$ 满足 $v^i(v_j)=\delta_{ij}$$v^i(v_j)={\delta }_{ij}$，且 $\dim V^*=\dim V$$\dim V^{\ast }=\dim V$。自然求值映射

$$ \iota:V\to V^{**},\qquad \iota(v)(\varphi)=\varphi(v) $$$$\iota :V\to V^{\ast \ast },\iota (v)(\phi )=\phi (v)$$

在有限维时是同构；无限维代数向量空间中它通常只单射而不满射。线性映射 $T:V\to W$$T:V\to W$ 诱导拉回 $T^*:W^*\to V^*$$T^{\ast }:W^{\ast }\to V^{\ast }$，$T^*(\psi)=\psi\circ T$$T^{\ast }(\psi )=\psi \circ T$，方向反转。

直觉

向量描述对象本身，线性泛函描述所有线性测量。对偶基提取坐标，而对偶映射把输出空间的测量沿原映射拉回输入空间。

例子与边界

在 $F^n$$F^n$ 中，行向量 $a^\top$$a^{\mathrm{\top }}$ 定义泛函 $x\mapsto a^\top x$$x\mapsto a^{\mathrm{\top }}x$。标准基的对偶基是各坐标投影。若 $T$$T$ 的矩阵为 $A$$A$，在相应对偶基下 $T^*$$T^{\ast }$ 的矩阵为转置 $A^\top$$A^{\mathrm{\top }}$。虽然有限维 $V$$V$ 与 $V^*$$V^{\ast }$ 维数相等，但没有不依赖额外结构的规范同构 $V\cong V^*$$V\cong V^{\ast }$；内积可提供一个（复情形需处理共轭）同构。无限维时“取基后坐标有限支撑”与所有线性泛函的规模不同，不能照搬有限维自反性。拓扑向量空间的连续对偶还要加入连续性，与纯代数对偶不同。

推论与应用

对偶空间组织线性约束、转置、 annihilator 和张量；在微分几何中余切向量、在优化中拉格朗日乘子都来自线性泛函视角。

参考资料

• Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2024，Ch. 3, dual spaces and dual maps。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 4, linear functionals and dual bases。