对偶空间

向量描述可被变换的对象，线性泛函描述对这些对象进行的线性测量，对偶空间便收集了所有这样的测量。给定一组基，每个对偶基元素只读取一个坐标；对偶映射则把输出空间中的测量沿原映射拉回输入空间。有限维时 $V$ 与 $V^{\ast }$ 维数相同，却没有不借助基或内积的自然同构，而映射 $V\to V^{\ast \ast }$ 则是自然的。

在 $F^n$ 中，行向量 $a^{\mathrm{\top }}$ 定义泛函 $x\mapsto a^{\mathrm{\top }}x$。标准基的对偶基是各坐标投影。若 $T$ 的矩阵为 $A$，在相应对偶基下 $T^{\ast }$ 的矩阵为转置 $A^{\mathrm{\top }}$。虽然有限维 $V$ 与 $V^{\ast }$ 维数相等，但没有不依赖额外结构的规范同构 $V\cong V^{\ast }$；内积可提供一个（复情形需处理共轭）同构。无限维时“取基后坐标有限支撑”与所有线性泛函的规模不同，不能照搬有限维自反性。拓扑向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。的连续对偶还要加入连续性，与纯代数对偶不同。在 $P_2(\mathbb{R})$ 上定义三个线性泛函

若 $p(x)=a+bx+c{x}^2$，则 $L_0(p)=a$、$L_1(p)=b$、$L_2(p)=a+b+c$，从而

这三个测量唯一恢复 $p$，所以它们构成 $P_2(\mathbb{R}{)}^{\ast }$ 的一组基。相比之下，只取 $p(0)$ 与 $p(1)$ 会遗漏所有 $x(x-1)$ 的倍数；“测量个数等于维数”仍不足以保证形成对偶基，还必须检查这些泛函线性无关。

对偶空间组织线性约束、转置、annihilator 和张量；在微分几何中余切向量、在优化中拉格朗日乘子都来自线性泛函视角。线性映射 $T:V\to W$ 诱导反向的转置 $T^{\ast }:W^{\ast }\to V^{\ast }$，体现 函子公理库函子Functor保持单位态射和复合的范畴之间映射。 的逆变性。双线性形式公理库双线性映射与形式Bilinear map · Bilinear form对两个向量变量分别线性的映射；值域为标量域时称双线性形式。可视为 $V\to V^{\ast }$ 的映射，内积进一步把对偶与原空间联系起来并产生伴随算子；对偶基也用于坐标、张量和微分形式。