函子

函子不是只把对象逐个变换，还必须同步搬运态射，并严格保存单位与复合。它是一种可组合的结构翻译：原范畴中先做 $f$ 再做 $g$，目标范畴中仍然先做 $F(f)$ 再做 $F(g)$。反变函子则反转箭头方向，所以常用来表达“取对偶”或“由对象向测试对象映射”。

忠实和满描述的是每一对对象之间的 Hom 映射，不是对象层面的性质；本质满才讨论目标对象是否在同构意义下来自某个像。

遗忘函子 $\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ 忘掉群运算，却把群同态保留为底层函数。对偶空间 $V\mapsto V^{\ast }$ 与线性映射 $T\mapsto T^{\ast }$ 构成反变函子。阿贝尔化 $G\mapsto G/[G,G]$ 是函子，因为群同态把交换子送到交换子，从而诱导商群同态。

只给每个对象随意选一个像，而不说明态射怎样映射，不构成函子。满函子也不表示目标范畴的每个对象严格等于某个 $F(C)$；对象层面的正确条件是本质满。对象赋值 $G\mapsto Z(G)$ 看似自然，却不能对任意群同态简单取限制：包含 $C_2=⟨(12)⟩\hookrightarrow S_3$ 时，源群中心是整个 $C_2$，但 $(12)\notin Z(S_3)$，所以没有得到所需态射。

函子保持同构，因为逆态射会被送到逆态射；但它一般不保持极限、余极限或单满态射，除非具有额外性质。自然变换公理库自然变换Natural transformation由对象逐点态射组成并满足自然性方块交换的函子间映射。比较两个函子，伴随公理库伴随Adjunction两个反向函子之间由自然同构的态射集双射刻画的关系。组织成对函子，Hom 函子则引出 可表函子公理库可表函子Representable functor自然同构于某个 Hom 函子的函子。与 Yoneda 引理。同调、基本群与自由—遗忘构造都依靠函子性保证映射与复合相容。