函子

函子把一整套对象与操作翻译到另一个范畴。协变函子把原范畴中的连续两步 $f$、$g$ 译为 $F(f)$、$F(g)$，合起来的结果恰是原复合的像。恒等态射也被保留，所以多步操作可以先在原处完成，再统一翻译。

忠实和满分别检验态射信息：忠实保证同一对对象之间的不同箭头仍可区分，满保证像对象之间的每条箭头都能从源范畴找到原像。本质满则检验对象是否齐全，允许用同构的副本代替字面相同的对象。

遗忘函子 $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ 把群送到底层集合，把群同态送到底层函数。两个群同态若底层函数相同，便是同一个同态，所以 $U$ 忠实。它不满：在二元群的底层集合上，交换单位元与非单位元的函数不保持单位元，因而不是群同态。

对偶空间理路对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。给出反变例子。线性映射 $T:V\to W$ 诱导 $T^{\ast }:W^{\ast }\to V^{\ast }$，定义为 $T^{\ast }(\phi )=\phi \circ T$。若还有 $S:W\to Z$，则

从而 $(S\circ T{)}^{\ast }=T^{\ast }\circ S^{\ast }$。反转次序来自函数的预复合。

阿贝尔化先取交换子子群理路交换子群Commutator subgroup · Derived subgroup由全部交换子生成的正规子群，度量群偏离交换性的程度。 $[G,G]$，再把群 $G$ 送到商群理路商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。 $G/[G,G]$。群同态 $h:G\to H$ 把交换子送到交换子，因此诱导 $g[G,G]\mapsto h(g)[H,H]$。这个公式同时给出态射作用，并直接保留恒等与复合。

取中心 $G\mapsto Z(G)$ 则不能沿所有群同态取限制。对于包含 $C_2=⟨(12)⟩\hookrightarrow S_3$，源群中心是整个 $C_2$，而 $(12)$ 不与 $(23)$ 交换，故不属于 $Z(S_3)$。这个包含映射无法限制为所需的 $Z(C_2)\to Z(S_3)$，指出了该对象构造缺少的态射规则。

函子保持同构。若 $gf=1_A$、$fg=1_B$，施加 $F$ 后就得到 $F(g)F(f)=1_{F(A)}$ 与 $F(f)F(g)=1_{F(B)}$，所以 $F(g)$ 是 $F(f)$ 的逆。这个推理让同构的对象在任何函子构造下继续保持同构。

固定对象 $A$，映射 $X\mapsto \mathrm{Hom}(A,X)$ 构成协变 Hom 函子，其态射作用为 $u\mapsto f\circ u$。协变可表函子理路可表函子Representable functor自然同构于某个 Hom 函子的函子。就是能用这种 Hom 数据描述的集合值构造；自然变换理路自然变换Natural transformation由对象逐点态射组成并满足自然性方块交换的函子间映射。与伴随理路伴随Adjunction两个反向函子之间由自然同构的态射集双射刻画的关系。进一步研究这些构造之间如何相容地转换。