形式陈述

协变函子 $F:\mathcal C\to\mathcal D$$F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为每个对象 $A$$A$ 指定对象 $F(A)$$F(A)$，为每个态射 $f:A\to B$$f:A\to B$ 指定态射 $F(f):F(A)\to F(B)$$F(f):F(A)\to F(B)$，并满足

$$ F(1_A)=1_{F(A)}, \qquad F(g\circ f)=F(g)\circ F(f). $$$$F(1_A)=1_{F(A)},F(g\circ f)=F(g)\circ F(f).$$

反变函子把 $f:A\to B$$f:A\to B$ 送为 $F(f):F(B)\to F(A)$$F(f):F(B)\to F(A)$；等价地，它是 $\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D$${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{D}$ 的协变函子。函子若在对象和态射上皆保持相应结构，可谈忠实、满和本质满；同时全忠实且本质满的函子给出范畴等价。

直觉

函子是范畴之间保持复合结构的翻译器。它不仅搬运对象，还必须一致地搬运对象间的所有映射。

例子与边界

遗忘函子 $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$$\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ 忘掉群运算但保留底层函数；自由群构造给出反方向函子。对偶空间 $V\mapsto V^*$$V\mapsto V^{\ast }$ 与线性映射 $T\mapsto T^*$$T\mapsto T^{\ast }$ 是反变函子。基本群在选定基点与保持基点映射下为函子。只给每个对象随意选一个对象而不指定态射，不构成函子。满函子指每个 Hom 映射满，不表示每个目标对象都是严格像；对象层面应使用本质满。函子保持同构，但一般不保持所有极限、余极限或单满态射，除非有额外性质。

推论与应用

函子表达不变量、遗忘与自由构造、同调和表示，使“结构保持算法”成为可比较对象。

参考资料

• Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998，Ch. I, functors and equivalence of categories。
• Steve Awodey, Category Theory, 2nd ed., Oxford University Press, 2010，Chs. 3–4, functors and natural examples。