可表函子 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $\mathcal C$ 为局部小范畴。协变函子 $F:\mathcal C\to\mathbf{Set}$ 称为可表，若存在 $A\in\mathcal C$ 与一个可逆的自然变换，即自然同构 $F\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,-)$ 。反变函子 $F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ 可表，则是指

F\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,A).

协变情形等价于存在通用元素 $u\in F(A)$ ，使对每个 $X$ ，映射

\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,X)\to F(X), \qquad f\mapsto F(f)(u)

都是自然双射。反变情形则由 $u\in F(A)$ 给出 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,A)\to F(X)$ ，把 $f:X\to A$ 送到 $F(f)(u)$ 。Yoneda 引理说明这种自然双射与通用元素精确对应，并推出代表对象在唯一同构意义下唯一。

直觉

可表性说明一整族依赖对象变化的数据，实际上由一个对象及其通用元素统一编码。

可表函子把对象 $X$ 看成“从某个代表对象 $A$ 到 $X$ 的所有态射”所组成的结构。若一个函子能这样描述，它的元素便可解释为带有一个通用元素的映射；抽象数据因此被一个对象及其出发态射完全编码。代表对象只在唯一同构意义下确定。

例子与边界

向量空间的底层集合函子可由一维自由向量空间表示。并非每个 Set 值函子都可表。协变可表函子 $\operatorname{Hom}(A,-)$ 保持所有存在的极限；反变可表函子 $\operatorname{Hom}(-,A)$ 则把原范畴中存在的余极限送到集合范畴中的极限。

遗忘函子 $U:\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ 可由自由群 $\mathbb Z$ 表示，因为群同态 $\mathbb Z\to G$ 与选择 $G$ 中一个元素一一对应。幂集的逆像函子可由二元集合表示。仅有各集合大小相同不足以可表，还需同构对所有态射自然。

推论与应用

把泛性质、Yoneda、模空间和表示对象连接起来。

Yoneda 引理把从 $\operatorname{Hom}(A,-)$ 到任意函子的自然变换与 $F(A)$ 的元素对应。泛性质常等价于某个函子可表；自由对象、积、极限和参数空间都可用代表对象统一表达。

参考资料

Emily Riehl, Category Theory in Context (2016), representable functors.
Steve Awodey, Category Theory (2006/2010), Yoneda and representability.

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