可表函子

把 $F(X)$ 看成可在对象 $X$ 上选择的数据。协变可表性提供一份位于 $A$ 上的通用数据 $u$：每份 $x\in F(X)$ 都恰好由一条 $f:A\to X$ 把 $u$ 送来。反变可表性则用 $f:X\to A$ 将 $u$ 拉回到 $X$。两种形式都把选择数据转成选择唯一态射。

固定域 $k$，记向量空间的底层集合函子为 $U$。它由一维空间 $k$ 表示：

给定 $v\in V$，逆向得到 $a\mapsto av$；所以通用元素就是 $1\in k$。同样，遗忘函子 $U:\mathbf{Grp}\to \mathbf{Set}$ 由加法群 $\mathbb{Z}$ 表示：同态由 $1$ 的像 $g$ 唯一决定，公式为 $n\mapsto g^n$。

反变的幂集理路幂集Power set把 A 的每一种子集选择提升为元素所得的集合，记作 P(A)。函子用逆像作用于函数：$f:X\to Y$ 诱导 $f^{-1}:\mathcal{P}(Y)\to \mathcal{P}(X)$。它由二元集合 $2=\{0,1\}$ 表示，因为子集 $S\subseteq X$ 恰对应特征函数 ${\chi }_S:X\to 2$。通用元素是 $\{1\}\subseteq 2$，且

最后一个等式直接验证自然性。

若改为用正像 $S\mapsto f(S)$ 作用于函数，就得到协变幂集函子；它不可表。任何协变可表函子 $\mathrm{Hom}(A,-)$ 在单点集处都只有一个元素，而 $\mathcal{P}(\{\ast \})$ 有 $\varnothing$ 与 $\{\ast \}$ 两个元素。这给出了可表性失败的具体检验。

Yoneda 引理理路Yoneda 引理Yoneda lemma从可表函子到集合值函子的自然变换，由后者在代表对象处的一个元素唯一确定。说明，从 $\mathrm{Hom}(A,-)$ 到集合值函子理路函子Functor保持单位态射和复合的范畴之间映射。 $F$ 的自然变换完全由 $F(A)$ 中一个元素决定。可表性进一步要求这族分量全为双射。两个表示的比较也须保持所选通用元素：例如表示向量空间底层集合的 $(k,1)$，只有恒等线性自同构固定 $1$，而空间 $k$ 本身可以有多个自同构。

协变可表函子保持存在的极限，因为从 $A$ 映到极限，等价于给出从 $A$ 到图表各对象的一族相容映射。反变可表函子则把原范畴中的余极限送到集合的极限。积的泛性质理路泛性质Universal property在候选结构组成的范畴中以始对象或终对象刻画构造。就是一个表示等式：

因此积可以通过它所表示的“成对映射”函子来识别。