Yoneda 引理

一个对象由所有其他对象映向它的方式完全刻画。自然变换看似要为每个对象指定数据，实际上其全部内容都由恒等态射处的一个元素决定。

自然性把每个测试对象上的数据连接起来。取 $u:Y\to X$ 和 $f:X\to A$，交换方块的两条路线满足

特别把方块取在 $f:X\to A$ 与 $1_A$ 上，就得到 ${\eta }_X(f)=F(f)({\eta }_A(1_A))$：恒等态射处的数据经 $F(f)$ 送出，决定了任意分量的值。

反过来，从 $x\in F(A)$ 定义 ${\eta }_X^x(f)=F(f)(x)$。由 $F(u)F(f)=F(f\circ u)$ 可知这些分量自然；而在 $1_A$ 处求值得到 $F(1_A)(x)=x$。两个构造互逆，双射因而成立。

取 $F=\mathrm{Hom}(-,B)$，得到

具体地，$h:A\to B$ 对应 ${\eta }_X(f)=h\circ f$；其自然性就是结合律 $h(fu)=(hf)u$。如果 $\eta$ 有自然逆，逆也来自某个 $k:B\to A$，于是 $kh=1_A$、$hk=1_B$，得到 $A\cong B$。

在集合范畴中取逆像幂集函子 $F=\mathcal{P}$。Yoneda 引理给出

选定 $S\subseteq A$，相应操作把每个函数 $f:X\to A$ 送到子集 $f^{-1}(S)\subseteq X$。例如 $A=\{0,1\}$、$S=\{1\}$ 时，它从每个二值函数中取出值为 $1$ 的输入；在 $1_A$ 处应用该操作，便恢复 $S$。所有与换测试集合相容的这类操作，都由某个 $S$ 以此方式给出。

协变版本的方向也能从公式读取。取 $F=\mathrm{Hom}(B,-)$，得到

右侧的 $v:B\to A$ 把 $f:A\to X$ 送到 $f\circ v:B\to X$，因此这里出现的是预复合。

若一个可表函子理路可表函子Representable functor自然同构于某个 Hom 函子的函子。有两个表示 $h_A\cong F\cong h_B$，把两个自然同构复合，再由 Yoneda 还原，就得到 $A\cong B$。固定这两个表示同构后，所得到的对象同构是唯一与它们相容的同构。这是把自然变换理路自然变换Natural transformation由对象逐点态射组成并满足自然性方块交换的函子间映射。还原为态射的实际用法。

Yoneda 嵌入把 $\mathcal{C}$ 与预层范畴中由 $h_A$ 构成的全子范畴建立范畴等价理路范畴等价Equivalence of categories通过互为拟逆的函子表达两个范畴具有相同的对象—态射结构。。对象被替换为它的全部测试映射，原来的态射和复合则由全忠实性完整保留。