形式陈述

设 $\mathcal C$$\mathcal{C}$ 为局部小范畴，$F:\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$$F:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathbf{Set}$ 为预层，$A\in\mathcal C$$A\in \mathcal{C}$。Yoneda 引理给出自然双射

$$ \operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,A),F) \cong F(A), $$$$\mathrm{Nat}({\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(-,A),F)\cong F(A),$$

把自然变换 $\eta$$\eta$ 送到 $\eta_A(1_A)$${\eta }_A(1_A)$。逆向地，给定 $x\in F(A)$$x\in F(A)$，定义

$$ \eta^x_X(f:X\to A)=F(f)(x). $$$${\eta }_X^x(f:X\to A)=F(f)(x).$$

协变版本为 $\operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}(A,-),F)\cong F(A)$$\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(A,-),F)\cong F(A)$。由此 Yoneda 嵌入

$$ y:\mathcal C\to[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}],\qquad A\mapsto\operatorname{Hom}(-,A) $$$$y:\mathcal{C}\to [{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}],A\mapsto \mathrm{Hom}(-,A)$$

是全忠实的。

直觉

一个对象由所有其他对象映向它的方式完全刻画。自然变换看似要为每个对象指定数据，实际上其全部内容都由恒等态射处的一个元素决定。

例子与边界

取 $F=\operatorname{Hom}(-,B)$$F=\mathrm{Hom}(-,B)$，得到

$$ \operatorname{Nat}(\operatorname{Hom}(-,A),\operatorname{Hom}(-,B))\cong\operatorname{Hom}(A,B), $$$$\mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}(-,A),\mathrm{Hom}(-,B))\cong \mathrm{Hom}(A,B),$$

从而两个对象若其可表函子自然同构，就同构。变量方向必须仔细：反变预层与 $\operatorname{Hom}(-,A)$$\mathrm{Hom}(-,A)$ 配对，协变函子与 $\operatorname{Hom}(A,-)$$\mathrm{Hom}(A,-)$ 配对。Yoneda 说明对象由态射行为决定到同构，而不是字面相等。局部小条件保证 Hom 为集合；大范畴还需宇宙或大小约定。

推论与应用

Yoneda 引理是可表函子、模空间、层论和范畴语义的核心工具，也提供构造自然变换的标准方法。

参考资料

• Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998，Ch. III, Yoneda lemma and embeddings。
• Steve Awodey, Category Theory, 2nd ed., Oxford University Press, 2010，Ch. 8, representables and Yoneda lemma。