形式陈述

设 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$$F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为函子。自然变换 $\eta:F\Rightarrow G$$\eta :F\Rightarrow G$ 为每个对象 $A$$A$ 指定态射

$$ \eta_A:F(A)\to G(A), $$$${\eta }_A:F(A)\to G(A),$$

并要求对每个 $f:A\to B$$f:A\to B$，自然性方块交换：

$$ G(f)\circ\eta_A=\eta_B\circ F(f). $$$$G(f)\circ {\eta }_A={\eta }_B\circ F(f).$$

若每个分量 $\eta_A$${\eta }_A$ 都是同构，则 $\eta$$\eta$ 为自然同构。自然变换可逐对象纵向复合；函子与自然变换还可作水平复合，满足交换律，从而范畴、函子、自然变换形成二维结构。

直觉

自然变换是在所有对象上同步改变一个构造为另一个构造，而且不依赖先映射还是先改变；交换方块正是“无任意坐标选择”的一致性。

例子与边界

有限维向量空间的典范映射 $V\to V^{**}$$V\to V^{\ast \ast }$ 对线性映射自然，因此给出恒等函子到双对偶函子的自然变换。选定每个有限维空间的一组基虽可产生 $V\cong F^{\dim V}$$V\cong F^{\dim V}$，却通常不自然，因为线性映射不与这些任意选择兼容。群 $G$$G$ 到其底层集合的恒等函数族只是同一遗忘函子的恒等自然变换。分量全部双射/同构足以使逆分量自动自然。自然性必须对所有态射成立，只检查对象或少数生成态射需有额外生成论证。

推论与应用

自然变换比较函子性构造，定义同调操作、单位与余单位，并把“典范同构”精确化。

参考资料

• Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Springer, 1998，Ch. II, natural transformations and functor categories。
• Steve Awodey, Category Theory, 2nd ed., Oxford University Press, 2010，Ch. 7, natural transformations。