自然变换

函子提供一套在每个对象和每个箭头上同时工作的构造；自然变换则在两套构造之间提供统一的比较。分量告诉我们怎样比较单个对象，自然性要求所有比较方式与对象之间的映射协调。

自然性把两个操作的顺序联系起来：先按 ${\eta }_A$ 转换构造，再沿 $G(f)$ 移动，与先沿 $F(f)$ 移动、再按 ${\eta }_B$ 转换，结果相同。因此验证一族分量时，要把两个函子在箭头上的作用一起写出来。

可逐元素检查的集合例子 ​

在集合范畴中令 $F(X)=X\times X$，并令 $F(f)(x_1,x_2)=(f(x_1),f(x_2))$；令 $G$ 是恒等函子。第一投影 ${\eta }_X(x_1,x_2)=x_1$ 构成自然变换，因为任意函数 $f:X\to Y$ 都满足

右侧与左侧都只读取第一个坐标再应用 $f$，所以等式对任意函数成立。

作为对照，在集合范畴的恒等函子上，令二元素集合 $B=\{0,1\}$ 的分量交换两元素，其他对象的分量均为恒等。取单点集合 $A=\{\ast \}$ 及 $f(\ast )=0$，左路 $f{\eta }_A(\ast )=0$，右路 ${\eta }_{B}f(\ast )=1$。各分量都是同构，这一族却没有通过自然性检验。

双对偶映射为什么自然 ​

对向量空间 $V$，定义 ${\eta }_V:V\to V^{\ast \ast }$ 为 ${\eta }_V(v)(\phi )=\phi (v)$。对线性映射 $T:V\to W$，对偶映射理路对偶空间Dual space给定向量空间到标量域的全部线性泛函组成的向量空间。满足 $T^{\ast }(\psi )=\psi \circ T$，再次对偶便给出同方向的 $T^{\ast \ast }:V^{\ast \ast }\to W^{\ast \ast }$。任取 $\psi \in W^{\ast }$，可算得

因此 $T^{\ast \ast }{\eta }_V={\eta }_{W}T$。有限维时，取基 $e_i$ 及其对偶基 $e_i^{\ast }$，${\eta }_V(e_i)$ 正是双对偶中的对应基向量，所以 ${\eta }_V$ 是同构。这给出有限维向量空间上的恒等函子与双对偶函子的自然同构。

自然同构的逆分量自动自然：由 $G(f){\eta }_A={\eta }_{B}F(f)$ 左右复合相应逆映射，即得 $F(f){\eta }_A^{-1}={\eta }_B^{-1}G(f)$。所以逐分量求逆就给出了函子范畴中的逆态射。

伴随理路伴随Adjunction两个反向函子之间由自然同构的态射集双射刻画的关系。中的单位、余单位都是自然变换；Yoneda 引理理路Yoneda 引理Yoneda lemma从可表函子到集合值函子的自然变换，由后者在代表对象处的一个元素唯一确定。则把从 Hom 函子出发的自然变换还原成单个对象上的数据。函子复合还诱导自然变换的水平复合，与纵向复合相容；这一层结构是进一步学习二维范畴语言的入口。