自然变换

自然变换是在所有对象上同步改变一个构造为另一个构造，而且不依赖先映射还是先改变；交换方块正是“无任意坐标选择”的一致性。自然变换为两个函子之间提供逐对象的比较，但这些分量不能任意选择：它们必须与每个态射相容。自然性方块表示“先在源范畴移动再比较”与“先比较再在目标范畴移动”结果相同，因此比较不依赖对象的偶然表示或额外选择。

有限维向量空间的典范双对偶映射 ${\eta }_V:V\to V^{\ast \ast }$，$v\mapsto (\phi \mapsto \phi (v))$ 对线性映射自然，因此给出恒等函子到双对偶函子的自然变换。选定每个有限维空间的一组基虽可产生 $V\cong F^{\dim V}$，有限维空间也能借助基与其对偶空间同构，但这些同构通常不自然，因为线性映射不与任意的基选择兼容。群 $G$ 到其底层集合的恒等函数族只是同一遗忘函子的恒等自然变换。若各分量全是同构，其逆分量会自动满足自然性；反过来，只验证几个对象上的分量是同构，却忽略对所有态射的相容性，仍不能得到自然同构。若只检查少数生成态射，还必须另行给出它们确实生成全部态射的论证。

自然变换比较函子公理库函子Functor保持单位态射和复合的范畴之间映射。性构造，定义同调操作、单位与余单位，并把“典范同构”精确化。自然变换是函子范畴中的态射，纵向复合与横向复合构成二维结构。伴随公理库伴随Adjunction两个反向函子之间由自然同构的态射集双射刻画的关系。可由单位与余单位自然变换描述，Yoneda 引理公理库Yoneda 引理Yoneda lemma对象到一个函子的自然变换与该函子在对象处的元素自然双射。则把从 Hom 函子出发的自然变换与对象元素对应。