上同调运算 | Codeboy's Blog

形式陈述

给定阿贝尔群 $G,H$ 和次数 $n,m\ge0$ ，先将约化上同调遗忘为集合值函子。一个上同调运算是这些函子间的自然变换

\theta:\widetilde H^n(-;G)\Longrightarrow\widetilde H^m(-;H).

也就是说，每个带基点空间 $X$ 都有映射

\theta_X:\widetilde H^n(X;G)\to\widetilde H^m(X;H),

并对任意基点映射 $f:X\to Y$ 满足

f^*\theta_Y(y)=\theta_X(f^*y).

若每个 $\theta_X$ 都是群同态，就可将同一自然变换看成 Abel 群值函子间的自然变换，称为加性运算；一般“运算”也可允许非加性自然映射，使用时必须注明。若存在固定整数 $r=m-n$ 的一族运算，并在约化上同调的悬挂同构下满足

\sigma\,\theta_X=\theta_{\Sigma X}\,\sigma,

则称稳定运算。只在某个固定维数定义的自然运算未必稳定。

由上同调可表性，当 $n\ge1$ 时，在以 $0$ -胞腔为基点的 CW 同伦范畴中，类型 $(n,G)\to(m,H)$ 的运算由

\theta(\iota_n)\in\widetilde H^m(K(G,n);H)

决定。若 $x=f^*\iota_n$ ，则 $\theta(x)=f^*\theta(\iota_n)$ ；这不是一种构造技巧，而是自然性与通用类共同给出的分类。

也可对非约化函子 $H^n(-;G)$ 采用同样的自然性定义，但零次常数类必须保留，不能沿用约化公式删除它们。上面的约化运算必保持零类：沿常值映射 $X\to *$ 用自然性，而一点的约化群为零即可。特别在 $n\ge1,m=0$ 的可表情形， $K(G,n)$ 连通，通用值所在的 $\widetilde H^0$ 为零，所以只有零运算。

直觉

上同调群告诉我们有哪些测量，上同调运算则寻找能在所有空间上统一执行、又不依赖坐标或表示的“测量变换”。自然性要求空间映射与运算顺序可交换：先把类拉回局部再处理，必须等于先在全局处理再拉回。这个条件排除了按某个空间随意挑基、挑生成元所得的偶然公式。

稳定性进一步要求该规则在维数升降后仍是同一规则。它把散落在各维的运算组织成谱之间的映射；非稳定运算则可能利用某个输入次数独有的现象，例如不稳定范围中的幂和 Whitehead 型信息。

例子与边界

短正合系数列

0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z \longrightarrow\mathbb Z/2\longrightarrow0

通过上链的短正合复形连接构造诱导 Bockstein 运算

\beta:H^n(X;\mathbb Z/2)\longrightarrow H^{n+1}(X;\mathbb Z).

在 $X=\mathbb{RP}^2$ 上，取 $a\in H^1(X;\mathbb Z/2)$ 的生成元。胞腔上链复形的整数余边界 $C^1\to C^2$ 是乘 $2$ 。把模 $2$ 余循环 $a$ 提升为取值 $1$ 的整数一上链，其余边界为 $2$ ；除以系数列中的 $2$ 后得到顶维整数余循环 $1$ 。因此

\beta(a)=1\in H^2(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z) \cong\mathbb Z/2,

所以 $\beta$ 在这里是同构。这个链级计算也说明 Bockstein 的次数为何增加一。

固定一个空间 $X$ 后，任取群同态 $H^n(X;G)\to H^m(X;H)$ 通常不是上同调运算，因为它未必能扩展到所有空间并与每个拉回相容。例如“选定某个基后取第一坐标”会随基变化，缺乏自然性。杯积给出的 $x\mapsto x\smile x$ 是自然规则，但其加性取决于系数和次数；不能仅因写成一个公式就默认它是加性稳定运算。

约化与非约化版本也不可混用。零维常数类会产生额外运算，而悬挂同构天然属于约化理论。声明一个运算稳定之前，必须逐维核对其定义域、目标次数、系数变换和悬挂交换方块。

推论与应用

Steenrod 平方提供模 $2$ 上最基本的稳定运算族，Bockstein 则从系数扩张检测提升障碍。运算可区分加法上同调群和杯积环都相同的空间，并在纤维化谱序列中充当对微分和横截元的额外约束。

表示空间把运算的复合变成通用类之间的代数关系；Adem 关系就是这种复合并非自由的具体表现。固定同一种系数理论后，稳定加性自运算按加法与复合组成分次环；模 $2$ Steenrod 自运算则给出一个 $\mathbb F_2$ 分次代数。源、目标系数任意变化的所有运算不能不分类型地混成同一个代数。使用这些结构时，先写清系数和次数往往能立即排除不可能的公式。

初级运算在单个上同调类上处处有定义；次级运算则只有当某个初级复合已经为零时才能选取消零同伦，结果通常还带不定性。Massey 积与 Toda 括号属于后一机制。两类对象都能探测更细结构，却不能共用同一个“自然变换在所有类上取值”的定义域。

Bockstein连接同态展开上述提升算法的良定义和自然性，并同时处理降一次数的同调版本。度四圆周附着空间的整数 Bockstein 非零，进一步约化到模二后却为零；因此一个模二运算为零，并不能排除阶四挠。

参考资料

Robert E. Mosher and Martin C. Tangora, Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory, Harper & Row, 1968, Chapter 1, §§1–3.
Norman E. Steenrod and David B. A. Epstein, Cohomology Operations, Princeton University Press, 1962, Chapter I, §§1–3.
J. Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press, 1999, Chapter 22, §5.

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