约化上同调 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $X$ 非空、 $x_0\in X$ ， $G$ 为阿贝尔群。约化奇异上同调可由增广链复形定义，也可自然识别为

\widetilde H^n(X;G)\cong H^n(X,\{x_0\};G),\qquad n\ge0.

从包含 $\{x_0\}\hookrightarrow X$ 的上同调长正合列可见， $n>0$ 时

\widetilde H^n(X;G)\cong H^n(X;G),

而零维有分裂

H^0(X;G)\cong \widetilde H^0(X;G)\oplus G.

最后一项是所有道路分支上取同一常数的类；约化只移除这一份常数，而不是把整个 $H^0$ 删除。对道路连通非空空间， $\widetilde H^0(X;G)=0$ 。

它仍是上同调理论的反变函子，并对带基点映射自然。约化形式把余纤维序列写成无须在零维另补常数项的长正合列。对适当的带基点空间，还有悬挂同构

\widetilde H^{q+1}(\Sigma X;G)\cong\widetilde H^q(X;G),

其中 $\Sigma X$ 是约化悬挂空间。

直觉

普通 $H^0$ 首先记录“每个道路分支可独立选一个常数”。在带基点问题中，总有一份所有分支共同平移的常数，与真正的断裂结构无关。约化上同调把这份基线扣掉，使一点空间在所有非负维数的约化群都为零，也让楔和与悬挂公式不再被零维例外打断。

“约化”不是近似或截断。正次数信息原封不动，零维也只去掉一个对角常数副本。它特别适合以基点为粘合位置的构造：所有空间共享的平凡成分已经归零，剩下的类可以直接比较。

例子与边界

若 $X$ 有恰好 $r<\infty$ 个道路分支，则

H^0(X;G)\cong G^r, \qquad \widetilde H^0(X;G)\cong G^{r-1}.

具体地，两个点 $S^0=\{x_0,x_1\}$ 上的零上同调由数对 $(a,b)$ 表示；商掉对角常数 $(c,c)$ 后只剩差 $b-a\in G$ ，故 $\widetilde H^0(S^0;G)\cong G$ 。悬挂 $S^0$ 得 $S^1$ ，悬挂同构把这个差类送到 $\widetilde H^1(S^1;G)\cong G$ ，可直接核对升维公式。

对 $n\ge1$ ，球面满足

\widetilde H^q(S^n;G)\cong \begin{cases} G,&q=n,\\ 0,&q\ne n. \end{cases}

普通 $H^0(S^n;G)=G$ 在约化后消失；正维生成元保持不变。有限楔和 $S^n\vee S^m$ 的约化上同调正好分离两只球面的生成元，不再额外携带公共基点的一份 $G$ 。

“去掉 $H^0$ ”是错误速记。若 $X$ 有三个分支， $\widetilde H^0(X;G)=G^2$ 并不为零。空空间和负次数还依赖所采用的增广约定，本页的相对空间公式明确假设 $X$ 非空并选定基点。无限楔和时，上同调的 wedge axiom涉及直积而非任意地写有限直和，也不能从有限例子机械外推。

推论与应用

约化上同调使基点余纤维序列

A\longrightarrow X\longrightarrow X/A

对应一条统一的跨维长正合列，是胞腔附着与障碍论的标准记账方式。表示定理把 $\widetilde H^n(X;G)$ 自然识别为到 $K(G,n)$ 的基点同伦类，上同调运算因此可在表示空间的通用类上被一次确定。

稳定上同调理论要求悬挂同构与各自然变换相容。普通奇异约化上同调满足这一点，Steenrod 运算等稳定运算也据此组织跨维族。实际使用仍要分清约化上同调、相对上同调和商空间上同调：它们在良好空间对中常相连，却各有自己的基点或 cofibration 假设。

参考资料

Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, §2.1, reduced homology, and §3.1, reduced cohomology.
Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer GTM 139, 1993, Chapter VI, §§1–2.
Edwin H. Spanier, Algebraic Topology, McGraw–Hill, 1966, Chapter 5, §5, reduced theories and suspension.

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