上同调

上链给每条链分配系数，余边界算子检查这种测量是否能由低一维势函数产生。余循环是对边界不敏感的测量，余边界则是可由前一维数据解释的平凡测量；商掉后留下空间的全局障碍。反变性来自预复合：空间映射把链向前送，测量只能沿相反方向拉回。

对道路连通非空空间，$H^0(X;G)\cong G$；一般 $H^0$ 对每个道路分支给一个独立值。圆周满足 $H^0(S^1;\mathbb{Z})\cong H^1(S^1;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$。虽然在域系数和有限型条件下上同调常像同调的线性对偶，但整数系数时普遍存在 Ext 项，不能简单写成 $H^n\cong \mathrm{Hom}(H_n,G)$。系数群改变会改变上同调，且上链是全部群同态，不只来自可微形式。

对映射 $f:S^1\to S^1$、$f(z)=z^m$，上同调的反变性给出

也就是说，目标圆上的“绕行测量”拉回后会在定义域记录 $m$ 倍绕行。常值映射在正次数上同调上诱导零映射；映射方向与诱导同态方向相反，不能和同调的协变性混淆。

奇异链复形公理库奇异链复形Chain complex in topology · Singular chain complex · 拓扑链复形由空间中的奇异单形生成链群，并以交替面映射组成满足边界平方为零的链复形。取 Hom 后方向反转，形成上同调的代数来源；杯积公理库杯积Cup product使上同调成为分次环的自然双线性乘法。把各维群组织成分次环，比单纯群更精细。同伦等价公理库同伦等价Homotopy equivalence存在互为同伦逆的连续映射时，两个空间具有相同的同伦类型。保持上同调，微分形式公理库微分形式Differential form在每点切空间上光滑变化的交替多线性协变量场。的 de Rham 上同调则把光滑积分与拓扑不变量连接起来。特征类、障碍理论和对偶性利用的正是可乘、反变的结构；代数几何中的层上同调又把同一套局部到整体语言推广到函数与截面。