形式陈述

设 $G$$G$ 为阿贝尔群。奇异上链群定义为

$$ C^n(X;G)=\operatorname{Hom}(C_n(X),G). $$$$C^n(X;G)=\mathrm{Hom}(C_n(X),G).$$

余边界算子 $\delta:C^n\to C^{n+1}$$\delta :C^n\to C^{n+1}$ 由

$$ (\delta\varphi)(c)=\varphi(\partial c) $$$$(\delta \phi )(c)=\phi (\partial c)$$

定义，因 $\partial^2=0$${\partial }^2=0$ 而满足 $\delta^2=0$${\delta }^2=0$。第 $n$$n$ 个上同调群为

$$ H^n(X;G)=\ker\delta^n/\operatorname{im}\delta^{n-1}. $$$$H^n(X;G)=\ker {\delta }^n/\mathrm{im}{\delta }^{n-1}.$$

连续映射 $f:X\to Y$$f:X\to Y$ 通过预合成诱导反向同态

$$ f^*:H^n(Y;G)\to H^n(X;G), $$$$f^{\ast }:H^n(Y;G)\to H^n(X;G),$$

所以上同调是反变函子。若系数为交换环 $R$$R$，上同调还可携带杯积形成分次环。

直觉

同调把几何链向前送；上同调则用数值或群元素“测量”链，并把空间映射反向拉回这些测量，因此天然反变。

例子与边界

对道路连通非空空间，$H^0(X;G)\cong G$$H^0(X;G)\cong G$；一般 $H^0$$H^0$ 对每个道路分支给一个独立值。圆周满足 $H^0(S^1;\mathbb Z)\cong H^1(S^1;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$$H^0(S^1;\mathbb{Z})\cong H^1(S^1;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$。虽然在域系数和有限型条件下上同调常像同调的线性对偶，但整数系数时普遍存在 Ext 项，不能简单写成 $H^n\cong\operatorname{Hom}(H_n,G)$$H^n\cong \mathrm{Hom}(H_n,G)$。系数群改变会改变上同调，且上链是全部群同态，不只来自可微形式。

推论与应用

上同调的反变性和乘法结构比单纯 Betti 数更精细，支撑特征类、障碍理论、对偶性和代数几何中的各种上同调理论。

参考资料

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002，Ch. 3, singular cohomology and universal coefficients。
• Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer, 1993，Ch. VI, cochains and cohomology。