微分形式

$k$-形式在每一点接收 $k$ 个切向量，测量它们张成的有向无穷小 $k$-平行体。交替性使线性相关方向贡献为零，并在交换方向时自动改变符号。拉回把目标空间中的测量规则沿映射搬回定义域，所以积分换参数时无需先选全局坐标。

楔积组合不同维数的测量密度，满足

（$\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^k,\beta \in {\mathrm{\Omega }}^{\ell }$）。外微分则是定义在形式上的另一项结构，并不包含在“微分形式”的最低定义中。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，$Pdx+Qdy$ 是 $1$-形式，$fdx\wedge dy$ 是 $2$-形式；$dx\wedge dx=0$。面积形式对两个向量的值是其坐标行列式。取

则 ${\gamma }^{\ast }\omega =dt$，沿单位圆积分得到 $2\pi$。

向量场公理库向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。属于切丛，$1$-形式属于余切丛；只有选定 Riemann 度量后，升降指标才给出二者的对应。一般协变张量若不交替，也不是微分形式。拉回具有反变方向：$F:M\to N$ 把 $N$ 上的形式送回 $M$，不存在无需额外结构的自然“正向推送”。

外微分公理库外微分Exterior derivative把 k 形式映为 k+1 形式且满足 d²=0 与分次 Leibniz 规则的算子。满足 $d^2=0$ 与分次 Leibniz 律，闭形式模恰当形式给出 de Rham 上同调。设 $M$ 是定向光滑带边界 $n$-维流形，边界采用 outward-normal-first 诱导定向；若 $M$ 紧致且 $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^{n-1}(M)$ 光滑，或更一般地 $\omega$ 具有紧支撑，则 Stokes 定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。给出

。次数条件保证 $d\omega$ 是可在 $M$ 上积分的顶次形式，紧致或紧支撑条件保证积分没有未控制的无穷远边界项。联络公理库联络与协变导数Connection · Covariant derivative在向量丛上按方向微分截面，并以 Leibniz 规则控制函数系数的结构。把协变导数延拓到外幂余切丛，单位分解公理库单位分解Partition of unity用局部有限、非负且和为一的光滑函数族从属于开覆盖并粘合局部构造。则用局部有限权重组织局部形式；二者都不会取代外微分本身。Stokes 定理统一微积分基本定理、Green、Gauss 与经典 Stokes 公式，拉回、定向与积分还支撑体积形式和辛形式。