形式陈述

光滑流形 $M$$M$ 上的 $k$$k$-微分形式是光滑截面 $\omega\in\Gamma(\Lambda^kT^*M)$$\omega \in \mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Lambda }}^k{T}^{\ast }M)$：每点 $p$$p$ 处给切空间上的交替 $k$$k$-线性泛函 $\omega_p$${\omega }_p$。零形式是光滑函数；楔积把 $k$$k$ 形式和 $\ell$$\ell$ 形式变为 $k+\ell$$k+\ell$ 形式，并满足分次交换律。形式的拉回沿光滑映射反变。

直觉

微分形式给每个位置的一组有向微小平行多面体赋值，并能自然沿曲线、曲面和高维区域积分。

例子与边界

在 $\mathbb R^2$${\mathbb{R}}^2$ 中，$P\,dx+Q\,dy$$Pdx+Qdy$ 是 1 形式，$f\,dx\wedge dy$$fdx\wedge dy$ 是 2 形式。$dx\wedge dx=0$$dx\wedge dx=0$。向量场与 1 形式只有在选定内积后才能自然对应，不能在一般流形上混同。

推论与应用

微分形式统一线积分、曲面积分、电磁场、体积形式和 de Rham 上同调。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013，Chs. 1–16。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Chs. 1–5。