形式陈述

光滑流形 $M$$M$ 在点 $p$$p$ 的切空间 $T_pM$$T_{p}M$ 可定义为在 $p$$p$ 处的导子空间：元素 $v:C^\infty(M)\to\mathbb R$$v:C^{\mathrm{\infty }}(M)\to \mathbb{R}$ 线性且满足 Leibniz 规则

$$ v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f). $$$$v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f).$$

在坐标 $(x^1,\ldots,x^n)$$(x^1,\dots ,x^n)$ 中，$\partial/\partial x^i|_p$$\partial /\partial x^i{|}_p$ 构成基，因此 $\dim T_pM=n$$\dim T_{p}M=n$。等价地，可把过 $p$$p$ 的光滑曲线按在任一坐标中的速度相同取等价类。光滑映射 $F:M\to N$$F:M\to N$ 诱导微分

$$ dF_p:T_pM\to T_{F(p)}N, \qquad dF_p(v)(g)=v(g\circ F). $$$$d{F}_p:T_{p}M\to T_{F(p)}N,d{F}_p(v)(g)=v(g\circ F).$$

直觉

切空间收集所有从点 $p$$p$ 出发的一阶可能速度。流形本身可能弯曲，但在无限小尺度上这些速度形成普通线性空间。

例子与边界

$T_p\mathbb R^n\cong\mathbb R^n$$T_p{\mathbb{R}}^n\cong {\mathbb{R}}^n$。球面 $S^n\subset\mathbb R^{n+1}$$S^n\subset {\mathbb{R}}^{n+1}$ 的切空间可识别为 $\{v:v\cdot p=0\}$$\{v:v\cdot p=0\}$。对抽象流形，切向量不是两个点之差，也不必预先是某个环境空间向量。不同曲线可代表同一切向量，因为只保留一阶速度；相同轨迹用非线性重参数化可能改变速度。坐标基依赖图，但切空间和 $dF_p$$d{F}_p$ 本身与坐标无关。

推论与应用

切空间承载向量场、微分、Riemann 度量和微分方程；微分 $dF_p$$d{F}_p$ 是多元 Jacobian 的坐标无关版本。

参考资料

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd ed., Springer, 2013，Ch. 3, tangent vectors and differentials。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Ch. 3, tangent vectors and differential maps。