切空间

切空间收集从一点出发的一阶速度方向，把流形在该点线性化。它可由穿过该点的曲线按一阶接触等价，也可由对光滑函数满足 Leibniz 规则的导子定义；两种构造自然同构。不同点的切空间没有天然相等关系，需要坐标、联络或平移结构才能比较向量。

$T_p{\mathbb{R}}^n\cong {\mathbb{R}}^n$。球面 $S^n\subset {\mathbb{R}}^{n+1}$ 的切空间可识别为 $\{v:v\cdot p=0\}$。对抽象流形，切向量不是两个点之差，也不必预先是某个环境空间向量。不同曲线可代表同一切向量，因为只保留一阶速度；相同轨迹用非线性重参数化可能改变速度。坐标基依赖图，但切空间和 $d{F}_p$ 本身与坐标无关。

球面 $S^2\subset {\mathbb{R}}^3$ 在点 $p$ 的切空间是

因为曲线约束 $\gamma (t)\cdot \gamma (t)=1$ 求导得到 $p\cdot {\gamma }^{\prime }(0)=0$。坐标向量 $\partial /\partial x^i$ 组成局部基，但换坐标后按 Jacobian 变换。把切向量直接当作流形中的点会混淆线性近似与原空间。

光滑流形在每点产生向量空间公理库向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。 $T_{p}M$，微分公理库多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。是切空间间线性映射；微分在邻域保持固定秩时，其完整局部标准形由常秩定理公理库常秩定理Constant rank theorem微分在一点邻域恒为固定秩时，光滑映射可由定义域和陪域坐标化为标准投影嵌入。给出。各点切空间及其对偶分别拼成切丛与余切丛公理库切丛与余切丛Tangent bundle · Cotangent bundle把流形各点的切空间及其对偶分别粘合成秩等于流形维数的光滑向量丛。，它们是由局部平凡化组织的向量丛公理库光滑向量丛Vector bundle · Smooth vector bundle · 向量丛纤维为同维向量空间、并在流形上局部以光滑保线性方式平凡化的丛。；向量场公理库向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。则选择切丛的光滑截面。定理与丛结构都建立在本页的一阶线性化上，不应挤回单点切空间的定义。