切空间

切空间收集从一点出发的一阶速度方向，把流形在该点线性化。它可由穿过该点的曲线按一阶接触等价，也可由对光滑函数满足 Leibniz 规则的导子定义；两种构造自然同构。比较不同点的切向量时，坐标平凡化、联络的平行移动或空间自带的平移结构提供具体的对应。

$T_p{\mathbb{R}}^n\cong {\mathbb{R}}^n$。对抽象流形，切向量不是两个点之差，也不必预先是某个环境空间向量。不同曲线可代表同一切向量，因为只保留一阶速度；相同轨迹用非线性重参数化可能改变速度。坐标基依赖图，但切空间和 $d{F}_p$ 本身与坐标无关。

球面 $S^2\subset {\mathbb{R}}^3$ 在点 $p$ 的切空间是

因为曲线约束 $\gamma (t)\cdot \gamma (t)=1$ 求导得到 $p\cdot {\gamma }^{\prime }(0)=0$。反过来，任给 $p\cdot v=0$，曲线 $\gamma (t)=(p+tv)/\Vert p+tv\Vert$ 留在球面且在零时刻的速度为 $v$，所以每个垂直向量都可实现。它对应的导子是 $f\mapsto (f\circ \gamma {)}^{\prime }(0)$，乘积求导恰好给出 Leibniz 规则。坐标向量 $\partial /\partial x^i$ 组成局部基，但换坐标后按 Jacobian 变换。

本页默认无边界流形，故双向曲线速度可实现全部切向量。对带边界流形理路带边界光滑流形Smooth manifold with boundary · Outward-first boundary orientation · 诱导边界定向以半空间坐标定义光滑边界，构造边界点完整切空间，并用外向量优先规则计算圆环两条边界的方向。，边界点的导子空间仍为完整 $n$ 维；但定义在双向开区间且留在流形内的曲线，其边界法坐标在零点取极小值，速度只能切于边界。完整切空间应由半空间上函数的光滑延拓导数构造，或用单侧曲线方向及其线性组合，不能把上面的双向曲线描述不加说明地照搬。

光滑流形在每点产生向量空间理路向量空间Vector space标量域作用下满足线性公理的加法阿贝尔群。 $T_{p}M$，微分理路多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。是切空间间线性映射；微分在邻域保持固定秩时，其完整局部标准形由常秩定理理路常秩定理Constant rank theorem微分在一点邻域恒为固定秩时，光滑映射可由定义域和陪域坐标化为标准投影嵌入。给出。各点切空间及其对偶分别拼成切丛与余切丛理路切丛与余切丛Tangent bundle · Cotangent bundle把流形各点的切空间及其对偶分别粘合成秩等于流形维数的光滑向量丛。，它们是由局部平凡化组织的向量丛理路光滑向量丛Vector bundle · Smooth vector bundle · 向量丛用相容的局部线性坐标定义并重建光滑向量丛，推导换标架与同构公式，再由 Möbius 线丛的反周期截面检测非平凡性。；向量场理路向量场与 Lie 括号Vector field · Lie bracket of vector fields光滑切向量场及其由导子交换子定义、衡量局部流不对易性的 Lie 括号。则选择切丛的光滑截面。