形式陈述

设 $F:U\subseteq {\mathbb{R}}^{n+m}\to {\mathbb{R}}^m$ 为 $C^1$，写变量为 $(x,y)$，且 $F(a,b)=0$。若关于 $y$ 的偏导线性映射 $D_{y}F(a,b)$ 可逆，则存在邻域 $A\ni a$、$B\ni b$ 和唯一 $C^1$ 映射 $\phi :A\to B$，使

$$F(x,y)=0\text{ 在 }A\times B\text{ 内}⟺y=\phi (x).$$

其导数为

$$D\phi (x)=-(D_{y}F(x,\phi (x)){)}^{-1}{D}_{x}F(x,\phi (x)).$$

直觉

若方程对某组变量的一阶响应可逆，就能在局部把这些变量唯一解成其余变量的函数；零点集因此看起来像低维坐标图。

例子与边界

圆方程 $F(x,y)=x^2+y^2-1=0$ 在 $y\ne 0$ 的点可局部写成 $y=\pm \sqrt{1-x^2}$；在 $(1,0)$ 处 $D_{y}F=0$，不能把 $y$ 写成 $x$ 的单值光滑函数，但可把 $x$ 写成 $y$ 的函数。非退化条件是保证指定变量可解的充分条件；条件失败时可能仍可解，也可能出现分支、尖点或非唯一。结论只在所给点附近成立，不能把不同局部分支自动拼成全局函数。

推论与应用

隐函数定理用于约束曲面、参数依赖方程、Lagrange 乘子、微分流形和经济均衡的局部比较静态。

参考资料

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 9, implicit function theorem as a consequence of the inverse theorem。
• Michael Spivak, Calculus on Manifolds, W. A. Benjamin, 1965，Ch. 2, implicit function theorem and local solution sets。