隐函数定理

方程 $F(x,y)=0$ 的零集通常比环境空间少若干维；当 $y$ 方向的线性响应可逆时，改变 $x$ 所造成的一阶误差可以由唯一的小改动 $y$ 抵消。定理把这个线性可解性提升为真实非线性邻域中的可解性。它还说明局部解的导数无需重新求极限，而可由 Jacobian 块的线性方程直接得到。

圆方程 $F(x,y)=x^2+y^2-1=0$ 在 $y\ne 0$ 的点可局部写成 $y=\pm \sqrt{1-x^2}$；在 $(1,0)$ 处 $D_{y}F=0$，不能把 $y$ 写成 $x$ 的单值光滑函数，但可把 $x$ 写成 $y$ 的函数。非退化条件是保证指定变量可解的充分条件；条件失败时可能仍可解，也可能出现分支、尖点或非唯一。结论只在所给点附近成立，不能把不同局部分支自动拼成全局函数。

对 $F(x,y)=e^y+xy-2$，在 $(0,\log 2)$ 有 ${\partial }_{y}F=e^y+x=2\ne 0$，所以附近存在唯一函数 $y=g(x)$。隐式求导公式给出

若可逆块退化，像 $y^2=x^2$ 在原点便出现两条分支，无法选出唯一光滑 $y(x)$。

多元微分理路多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。提供 Jacobian，逆函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。可把隐函数结论看作增广映射的局部可逆性。零点集由此获得 $C^1$ 子流形结构；若 $F$ 为 $C^{\mathrm{\infty }}$，则得到光滑流形理路光滑流形Smooth manifold坐标图之间转移映射光滑的拓扑流形。结构，其一阶允许方向构成切空间理路切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。。

导数公式实际要求解 $D_{y}FD\phi =-D_{x}F$，它把参数扰动传到隐式解的放大率，是问题条件性理路问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。的一阶模型；$D_{y}F$ 接近奇异时，这项敏感性会增大。Newton 法理路Newton 非线性方程法Newton's method · Newton-Raphson method · Newton method for nonlinear systems在当前点解一阶线性化方程来修正非线性方程的近似解，并分析其局部二次收敛与失效边界。可在非退化解附近求解 $F(x,y)=0$，但其初值区域、线性系统与失败回退属于算法层。约束优化、参数化方程和微分方程对参数的局部依赖也使用这一机制。

周期轨道的参数延续理路周期轨道的参数延续与周期敏感度Continuation of periodic orbits · Period sensitivity · 周期轨道的相位约束固定横截相位后，用非相位乘子不等于1证明局部参数延续；由带边框变分系统同时计算基点与周期导数，并解释退化和近退化边界。给出一个必须先选好未知量的例子：单周期矩阵减恒等必含相位核，不能直接求逆。把周期也作为未知量，并补一个横截相位条件后，带边框Jacobian在横向无乘子1时可逆；本定理才给出局部轨道族及周期导数。