Fréchet 可微性

一维里可微与导数存在等价，多维里真正的要求是存在一个同时控制所有方向的单一线性映射。逐坐标偏导只测试若干坐标轴，可能漏掉斜向趋近的误差；Fréchet 型余项则要求误差对位移范数统一为 $o(\Vert h\Vert )$。因此可微性是一种方向间相容性，而不只是偏导表格齐全。

$f(x)=|x|$ 在 $0$ 连续但左右差商不同，故不可微；$f(x)=x^2$ 在 $a$ 的线性主部为 $2ah$，余项 $h^2=o(|h|)$。导数存在只是一点性质，不保证导函数连续；存在处处可微但导数不连续的函数。端点处通常定义单侧导数，不能直接套用开区间内的双侧定义。复可微要求复线性近似，远强于把 $\mathbb{C}$ 当作 ${\mathbb{R}}^2$ 的实可微。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 上令 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$。它在原点连续，两个坐标偏导都为零；但沿 $y=x=t$ 有 $f(t,t)=|t|$，与 $\Vert (t,t)\Vert$ 同阶，所以不满足零线性主部后的 $o(\Vert h\Vert )$ 条件，原点不可微。这个例子说明“偏导都存在”与“可微”之间缺少统一误差控制。

在有限维 Euclidean 空间选定标准坐标后，这一线性主部由多元导数公理库多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。的 Jacobian 矩阵表示；后者是坐标化特例，而不是另一个与 Fréchet 可微性重叠的一般定义。线性主部可复合，因而链式法则自然成立。隐函数定理公理库隐函数定理Implicit function theorem当相关偏导块可逆时，方程组局部可把部分变量表示为其余变量的函数。用某个导数块的可逆性解出约束变量，多元 Taylor 定理公理库多元 Taylor 定理Multivariable Taylor theorem用各阶导数给出多元函数的局部多项式展开及余项控制。则继续提取二阶及更高阶结构。流形上的切映射也是同一概念的坐标无关版本。

数值计算中的线性化正是把非线性模型暂时换成这一线性主部，再用余项判断近似在多大邻域内可信；没有统一的余项控制，逐坐标得到的局部斜率不足以支撑这种误差判断。$\Vert Df(a)\Vert$ 给出一阶的局部敏感性，是问题条件性公理库问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。的入口，却不等于整个区域上的 Lipschitz 常数；Newton 法公理库Newton 非线性方程法Newton's method · Newton-Raphson method · Newton method for nonlinear systems在当前点解一阶线性化方程来修正非线性方程的近似解，并分析其局部二次收敛与失效边界。则反复求解由 $Df$ 给出的局部线性模型，并另行控制余项与初值邻域。