形式陈述

对函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，若存在数 $L$ 使

$$f(a+h)=f(a)+Lh+o(|h|)(h\to 0),$$

则称 $f$ 在 $a$ 可微，且 $L=f^{\prime }(a)$。这与差商极限定义等价。线性主部 $Lh$ 是局部一阶最佳近似；余项满足 $[f(a+h)-f(a)-Lh]/|h|\to 0$。可微必连续，但连续不必可微。

直觉

可微不是“函数有一条切线”的图形口号，而是误差相对于位移是一阶更小：放大到足够近时，函数与某个线性映射的差消失得更快。

例子与边界

$f(x)=|x|$ 在 $0$ 连续但左右差商不同，故不可微；$f(x)=x^2$ 在 $a$ 的线性主部为 $2ah$，余项 $h^2=o(|h|)$。导数存在只是一点性质，不保证导函数连续；存在处处可微但导数不连续的函数。端点处通常定义单侧导数，不能直接套用开区间内的双侧定义。复可微要求复线性近似，远强于把 $\mathbb{C}$ 当作 ${\mathbb{R}}^2$ 的实可微。

推论与应用

线性余项表述自然推广为 Fréchet 导数，并支撑链式法则、Taylor 定理、逆函数定理和数值线性化。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 5, differentiability and linear approximation。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 5, derivatives and continuity。