Fréchet 可微性

可微性用一个线性映射同时预测所有足够小的位移。偏导沿坐标轴测量斜率，Fréchet 余项则比较实际变化与线性预测之差，并要求这一差比位移本身更快趋于零。于是既能沿固定直线靠近，也能沿不断改变方向的曲线靠近，误差都受到同一个 $o(\Vert h\Vert )$ 控制。

$f(x)=|x|$ 在 $0$ 连续，但左右差商分别为 $-1,1$，所以没有统一的线性主部。$f(x)=x^2$ 在 $a$ 则满足 $(a+h{)}^2-a^2=2ah+h^2$，其中 $h^2/|h|\to 0$，故 $Df(a)h=2ah$。

在 ${\mathbb{R}}^2$ 上令 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$。它在原点连续，两个坐标偏导都为零；但沿 $y=x=t$ 有 $f(t,t)=|t|$，与 $\Vert (t,t)\Vert$ 同阶，所以不满足零线性主部后的 $o(\Vert h\Vert )$ 条件，原点不可微。坐标轴上的零斜率没有控制斜向位移，这正是线性近似失败的位置。

导数还可以存在而不连续。例如 $g(0)=0$、$g(x)=x^2\sin \left(1/x\right)$（$x\ne 0$）满足 $g^{\prime }(0)=0$，但 $g^{\prime }(x)=2x\sin \left(1/x\right)-\cos \left(1/x\right)$ 在零点附近振荡。对复赋范空间，定义要求主部复线性；共轭映射 $z\mapsto \overline{z}$ 有实线性主部，却没有复线性导数。

在有限维 Euclidean 空间选定基后，这一线性主部由多元导数理路多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。的 Jacobian 矩阵表示。两个可微映射复合时，先后应用它们的线性主部，就得到复合的导数，这给出链式法则。隐函数定理理路隐函数定理Implicit function theorem当相关偏导块可逆时，方程组局部可把部分变量表示为其余变量的函数。利用导数块的可逆性解出约束变量，多元 Taylor 定理理路多元 Taylor 定理Multivariable Taylor theorem用各阶导数给出多元函数的局部多项式展开及余项控制。则继续提取二阶及更高阶变化。

数值线性化把非线性变化近似为 $Df(a)h$，余项刻画近似误差。算子范数 $\Vert Df(a)\Vert$ 给出单位输入位移的一阶最大放大量，是问题条件性理路问题条件性与条件数Conditioning of a problem · Condition number度量问题真解对输入微扰的局部敏感性，并把这种固有敏感性与算法误差分开。的局部量；若要控制整个区域内的变化，则需估计区域中的导数或其他整体界。Newton 法理路Newton 非线性方程法Newton's method · Newton-Raphson method · Newton method for nonlinear systems在当前点解一阶线性化方程来修正非线性方程的近似解，并分析其局部二次收敛与失效边界。每一步求解一个这样的局部线性模型，再用新的迭代点更新导数。

当输入本身是矩阵，线性主部还要保留乘法顺序。矩阵函数的 Fréchet 导数理路矩阵函数的 Fréchet 导数Fréchet derivative of a matrix function推导非交换矩阵扰动的一阶响应、块三角函数恒等式和范数条件数，并手算指数与平方根的方向导数。以平方映射的 $AE+EA$ 为入口，用块函数恒等式计算指数等函数的一阶响应，并说明为什么一般不能直接写成 $f^{\prime }(A)E$。