标量守恒律

可以把 $u$ 看成沿管道分布的密度，把 $f(u)$ 看成单位时间穿过截面的量。相邻小区间共享同一界面：一个区间的流出正是下一区间的流入，所以把局部平衡相加时内部通量成对抵消。这种抵消结构比点态可微性更基本；激波处虽然没有普通导数，跨越激波的总量仍能精确平衡。

特征线像携带状态标签的运输轨迹。线性通量 $f(u)=au$ 给所有标签相同速度 $a$，波形只平移；凸非线性通量会让高状态与低状态速度不同。轨迹挤在一起时，守恒量不能凭空消失，只能集中成移动跳跃；轨迹拉开时，中间状态由一族不同速度连续填满。激波与稀疏波因此不是人为添加的现象，而是同一个局部守恒机制的两种几何结局。

取 Burgers 通量 $f(u)=u^2/2$。Riemann 初值 $u_L=2,u_R=0$ 的左侧特征速度为 $2$，右侧为 $0$，特征相撞。守恒跳跃以速度

移动，所以 $u(x,t)=2$ 当 $x<t$，$u(x,t)=0$ 当 $x>t$。在 $t=0.6$ 时跳点位于 $x=0.6$。取固定控制体 $[0,2]$，在 $0<t<2$ 内总量为 ${\int }_0^{2}udx=2t$，变化率为 $2$；两端净流入为 $f(2)-f(0)=2$，恰好一致。跳点处的取值不影响积分，因此这个守恒检验不需要在那里定义普通导数。

若改为 $u_L=0,u_R=2$，特征从速度 $0$ 展开到 $2$，熵可接受解为

例如 $(x,t)=(0.9,0.6)$ 给 $x/t=1.5$，故 $u=1.5$。同一对端态也存在满足分布守恒的“膨胀激波”，说明方程和初值本身还不足以选择物理解；熵解理路守恒律的熵解Entropy solution of a conservation law · Kružkov entropy solution · 守恒律可容许解在弱守恒之外加入单向熵耗散不等式，从多个分布解中选择满足唯一性与稳定性的可容许解。补上方向性条件。

凸性不能被默认为永远成立。对非凸通量，$u_L<u_R$ 不必对应单一稀疏扇，$u_L>u_R$ 也不必对应单一激波；通量图的凸包或凹包可能产生激波与稀疏波的复合结构。多维中波面几何、边界迹和可能的奇异集中还会增加困难。本页只讨论标量守恒量，不能把结论直接搬到具有多个特征族的双曲方程组。

局部守恒给出两个后续接口。分析上，把方程乘测试函数并分部积分得到弱形式，移动间断则满足 Rankine–Hugoniot 跳跃关系；再加入熵不等式，才能在适当函数类中恢复唯一性与 $L^1$ 收缩。数值上，离散更新若让公共界面只出现一个数值通量，所有内部贡献也会望远镜式抵消，从而在机器精度范围内守恒总量。

守恒形式与非守恒形式在光滑区可由链式法则互换，在间断处却可能给出不同传播速度。计算 $u_t+f^{\prime }(u)u_x=0$ 时若直接离散乘积而不保持通量差，所得极限即使存在也未必满足正确跳跃平衡。模型验证至少应报告通量、初边值域、允许的解概念及边界流入规则；只给一条平滑数值曲线无法说明激波位置或总量是否正确。