数值通量

数值通量是相邻单元之间唯一的交易凭证。左右单元可以各自拥有不同重构值，但界面最终只能确认一个穿越量；若双方各算一个近似物理通量，两个账本不会精确相消。通量函数把连续波在一个时间步内的复杂界面行为压缩成这个共同数字。

不同通量主要在“对尚未解析的波做多少假设”上分岔。Godunov 通量解局部波问题，尽量按真实传播方向取值；中心加耗散通量只需波速上界，成本低而较模糊；迎风通量在线性单速问题中恰好精确表达方向。高阶重构提升送入通量函数的左右迹质量，并不会自动把一个不稳定通量变稳定。

对 Burgers 通量，取 $u_L=2,u_R=0$。Riemann 解是速度 $s=1>0$ 的激波，界面 $\xi =0$ 位于左状态侧，所以

若使用耗散参数 $\alpha =2$ 的 Rusanov 通量，则

两者都一致，却对非相等状态给出不同通量。Rusanov 式中的居中项为 $1$、耗散项贡献为 $2$，所以总通量为 $3$；它比 Godunov 通量多 $1$，但不表示真实物理通量在任何状态上等于 $3$。

再取线性通量 $f(u)=-3u$，左右状态为 $(1,4)$。速度为负，信息从右侧进入界面，所以迎风通量是

若误取左态会得到 $-3$，方向正好相反。这个错误在常状态测试 $\hat{f}(u,u)=f(u)$ 中仍可能通过，说明一致性测试不能替代方向和稳定性测试。

非凸标量通量不能把上述全区间极值偷换成只比较端点：状态区间跨过多个极值时，熵 Riemann 解可能是复合波，但全区间极值公式仍给出精确 Godunov 通量。系统通量是向量，Roe、HLL 与 HLLC 等近似求解器保留不同波族，不能由一个标量 $\alpha$ 的优劣概括全部接触分辨率。

边界通量也会决定全局总量。周期网格最后一个单元与第一个单元必须共享同一通量；流出边界若用固定外部状态，可能人为送回反射波。守恒检查通过只说明内部成对抵消，边界物理是否正确仍需独立验证。

一个通量可从四个互不替代的角度审查：一致性检查常状态，守恒装配检查共享界面，单调性或熵稳定性控制非物理振荡，精度分析检查光滑状态下的展开。数值耗散常改善稳定与熵选择，却会降低间断分辨率；减少耗散则可能暴露高频振荡。

Godunov、Lax–Friedrichs 与迎风格式的差别可以统一归结为所选界面通量及时间更新。MUSCL 等高阶方法仍调用同一两态或近似 Riemann 通量，只是两态来自受限重构。实现时适合把通量当作纯函数测试：核对 $\hat{f}(u,u)$、交换法向后的符号、给定端态的手算值以及非有限输入的失败行为。