总变差递减格式 | Codeboy's Blog

形式陈述

一维网格数据是索引集上的函数 $U:I\to\mathbb R$ ，更新 $S$ 把允许的数据送到同一数据空间。 $I$ 可以是有限的线性或周期索引，也可以是 $\mathbb Z$ ；边界约定随索引一起固定。离散总变差定义为

\operatorname{TV}(U)=\sum_i|U_{i+1}-U_i|,

求和范围需与整线、周期或有限区间边界约定一致。若时间更新算子 $S$ 对所有允许数据满足

\operatorname{TV}(S(U))\le\operatorname{TV}(U),

称格式为 total variation diminishing，简称 TVD。它控制相邻跳跃绝对值之和，而不是要求每个点随时间单调，也不是要求物理熵 $\int\eta(u)$ 必然下降。

标量单调守恒格式在标准平移不变条件下是 TVD。证明可令离散差分 $\Delta_i=U_{i+1}-U_i$ ，把相邻更新之差写成非负系数作用于旧差分，再用三角不等式与系数和界求和。反向一般不成立：非线性高分辨率格式可以保持 TVD，却不是对所有输入分量全局单调的映射。

对三点守恒格式，Harten 引理常把更新写成

U_i^{n+1} =U_i^n -C_{i-1/2}^n(U_i^n-U_{i-1}^n) +D_{i+1/2}^n(U_{i+1}^n-U_i^n),

准确的充分条件在同一界面配对：对每个 $i$ ，

C_{i+1/2}^n\ge0,\qquad D_{i+1/2}^n\ge0,\qquad C_{i+1/2}^n+D_{i+1/2}^n\le1.

记 $\Delta_i=U_{i+1}-U_i$ ，相邻更新相减得到

\Delta_i^{n+1} =(1-C_{i+1/2}^n-D_{i+1/2}^n)\Delta_i^n +C_{i-1/2}^n\Delta_{i-1}^n +D_{i+3/2}^n\Delta_{i+1}^n.

三个系数非负；对周期网格求绝对值之和，每个旧 $|\Delta_i|$ 收到的总系数恰为一，因此得到 TVD。整线上对有限总变差数据同样可以求和；开放边界则须另外计入边界贡献。不能把同界面条件换成每个更新行的 $C_{i-1/2}+D_{i+1/2}\le1$ 。例如四点周期数据 $(0,1,1,0)$ ，只令界面 $1/2$ 上的 $C=D=1$ 、其余为零，更新就交换前两项，得到 $(1,0,1,0)$ 。每行权重仍非负且和为一，总变差却从 $2$ 增为 $4$ 。

系数条件通常依赖 CFL、通量和限制器；只给限制器名称而不检查完整时间更新，不能推出 TVD。

总变差一致有界，再配合一致 $L^\infty$ 界或局部 $L^1$ 界，使一维标量网格函数在空间 $L^1_{\mathrm{loc}}$ 中具有紧性，这是 Helly 型选列与守恒极限识别的重要入口。但 TVD 本身不说明极限满足哪条 PDE，也不自动提供高维 BV 紧性。

直觉

总变差把折线走过的所有竖直距离相加。孤立激波贡献一次跳幅；激波两侧的过冲—回摆会额外增加两段距离，所以 TVD 禁止算法在每步制造新的锯齿总量。它允许已有峰值移动或摊宽，只要整体起伏不增加。

这比“图看起来平滑”可检验，也比逐点最大值更细：所有值都在旧极值范围内的序列仍可能在上下界之间频繁交替，拥有巨大总变差。反过来，TVD 会牺牲光滑极值附近的形式高阶，因为限制器为避免新极值常把斜率压低；该退化是 TVD 精度边界的一部分。

因此 TV 曲线对细小的交替振荡很敏感，即使这些振荡的点值尚未越过全局极值。

例子与边界

对 $a>0$ 的一阶迎风格式，取 Courant 数 $C=0.5$ ，左流入 ghost 值为 $0$ ，四个单元为

U^n=(0,1,3,2).

更新 $U_i^{n+1}=(1-C)U_i^n+CU_{i-1}^n$ 给

U^{n+1}=(0,0.5,2,2.5).

只按四个内部单元之间的三个跳跃计算，旧总变差为

|1-0|+|3-1|+|2-3|=4,

新总变差为

|0.5-0|+|2-0.5|+|2.5-2|=2.5.

若要把边界跳跃也计入，两时刻必须采用同一 ghost 与流出约定；混用周期 TV 和开放边界 TV 会得到不可比较数字。

TVD 不等于无扩散。上例总变差下降正说明尖锐变化被混合；接触间断在粗网格上仍可铺开许多单元。TVD 也不保证点态二阶：在光滑极值处，任何严格 TVD 的常见重构都会局部退到一阶，从而避免生成新极值。

多维没有一个对所有方向都同样有效的直接一维 TVD 推广。逐坐标方向限制可能漏掉斜向振荡，非结构网格还缺少天然的全序相邻差分。系统中对保守变量逐分量限制会破坏特征结构；通常应在特征变量、物理不变量区域或熵稳定框架内另行分析。

TVD 也不取代熵条件。一个格式若不一致或不守恒，即便压低总变差，也可能收敛到错误方程；对非经典激波，物理选择可能需要超出 TVD 的正则化信息。完整结论仍需通量一致性、边界处理和极限识别。

推论与应用

TVD 是 MUSCL 限制器设计的目标坐标：在光滑单调区域保留非零斜率，在局部极值或跨激波处减小斜率，使完整更新满足 Harten/Sweby 条件。评价限制器时应报告总变差随时间曲线、激波宽度和光滑区误差，不能只看是否出现过冲。

在收敛证明中，统一 $L^\infty$ 与 TV 界给出空间紧性，时间平移估计再补足时空紧性；守恒一致性把极限识别为弱解，离散熵不等式选择熵解。每一环都有独立假设。工程上，一个逐步 TV 增长断言应立即触发对 CFL、边界 ghost、限制器参数和多级时间积分的检查。

参考资料

Ami Harten, “High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws,” Journal of Computational Physics 49(3), 1983, pp. 357–393.
P. K. Sweby, “High Resolution Schemes Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws,” SIAM Journal on Numerical Analysis 21(5), 1984, pp. 995–1011.
Randall J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, 2002, Ch. 6.

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