网格与网格剖分 | Codeboy's Blog

形式陈述

网格剖分与几何尺度

设连续问题定义在区域 $\Omega\subset\mathbb R^d$ 上。网格剖分 $\mathcal T_h$ 是有限个闭单元 $K$ 的集合，其并集覆盖离散区域 $\overline{\Omega_h}$ 。在 conforming 剖分中，两个不同单元的内部不相交，它们的交若非空，只能是双方共有的顶点、边或面。节点集、边集和面集可分别记作 $\mathcal V_h,\mathcal E_h,\mathcal F_h$ ；“哪些单元共享一个面”给出邻接关系，但单元坐标、长度、角度和边界位置仍是邻接图之外的几何信息。

在度量 $d(\cdot,\cdot)$ 下，单元的局部尺度定义为

h_K=\operatorname{diam}(K) =\sup_{x,y\in K}d(x,y),

整张网格的最大尺度通常写作

h=\max_{K\in\mathcal T_h}h_K.

这个 $h$ 是几何长度，不是节点数倒数。只有在固定区间上的一维均匀网格中，二者才通过 $h=(b-a)/N$ 简单对应。局部加密、各向异性单元或非规则区域都需要保留 $h_K$ ，因为同一张网格上可能同时存在相差许多倍的单元尺度。

Structured grid 与 unstructured mesh

structured grid 具有可由多重下标生成的重复拓扑。二维 Cartesian grid 的节点可写成 $(x_i,y_j)$ ，左右上下邻居由下标直接确定，不必逐条存储连接。unstructured mesh 则显式保存单元—节点关联；二维常用三角形或四边形，三维常用四面体或六面体。非结构网格更容易贴合复杂边界和局部加密，但邻接查询、遍历顺序与数据布局需要额外维护。

参考元、质量与边界几何

单元几何常由固定 reference element $\widehat K$ 和映射

F_K:\widehat K\longrightarrow K

统一描述。直边单纯形通常使用可逆仿射映射；曲边或高阶几何可使用非线性映射。积分、导数和局部插值可以先在 $\widehat K$ 上定义，再通过 $F_K$ 及其 Jacobian 搬到物理单元。若 $\det DF_K$ 为零或在单元内变号，映射会失去局部可逆性或翻转方向。合法单元在均匀加密时也有 $|\det DF_K|\asymp h_K^d\to0$ ，所以绝对行列式小本身不是退化判据；应检查 $DF_K$ 的奇异值比、归一化 Jacobian 或下述 $h_K/\rho_K$ 等尺度无关质量量。

对单纯形单元，记 $\rho_K$ 为内切球半径。一族网格称为 shape regular，若存在与加密层数无关的常数 $C_{\mathrm{sr}}$ ，使

\frac{h_K}{\rho_K}\le C_{\mathrm{sr}} \qquad \text{对所有 }K\in\mathcal T_h.

该条件排除越来越瘦的三角形和 sliver 四面体。若还存在统一常数 $C_{\mathrm{qu}}$ 使 $h/h_K\le C_{\mathrm{qu}}$ ，则网格族 quasi-uniform。准均匀性不只控制形状，还禁止单元尺度出现很大跨度；因此局部加密网格可以保持形状正则，却通常不再准均匀。

边界拟合网格让 $\partial\Omega_h$ 的边或面落在真实边界 $\partial\Omega$ 上，或通过曲边映射逼近它。多边形逼近曲边会引入独立的几何误差；嵌入式或 cut-cell 方法虽然不要求单元边界与 $\partial\Omega$ 重合，却必须记录切割体积、边界法向和可能极小的交单元。这些量都不能由全局 $h$ 一项概括。

网格不等于离散函数空间

网格也不等于离散函数空间。同一剖分可以把自由度放在顶点、单元中心、边中点或面上，也可以让一个单元携带多个矩。节点值、单元平均和面通量具有不同语义；只有指定自由度布局、局部表示和连续性约束后，才能确定实际离散未知量。

直觉

网格把连续区域切成有限块，同时保留“块在哪里”和“块怎样相接”。规则方格像坐标纸，位置和邻居都能从行列号读出；非结构三角网格更像按地形裁剪的拼片，需要显式清单说明每块的顶点与邻居。

最大单元直径只回答最粗处有多粗，形状正则性回答单元有没有被压成针或薄片。两张网格即使拥有相同节点数和相同 $h$ ，也可能因最小角、边界贴合或局部尺寸分布不同而产生完全不同的插值误差和矩阵条件性。

局部加密的目标不是把所有地方都切细，而是把自由度放到解变化最剧烈或几何最复杂的位置。它节省未知量，却也使误差估计、数据结构和求解器必须面对一组 $h_K$ ，不能继续假设所有单元可由一个尺度代表。

例子与边界

一维计数与二维邻接

区间 $[a,b]$ 的一维均匀网格取

x_i=a+ih, \qquad i=0,\ldots,N, \qquad h=\frac{b-a}{N}.

节点有 $N+1$ 个，单元却是 $K_i=[x_i,x_{i+1}]$ 共 $N$ 个。这个最小例子已经说明“节点数”“单元数”和“网格尺度”是三个相关但不同的量；把 $h$ 直接写成 $1/(N+1)$ 会同时遗漏区间长度和计数约定。

正方形区域可以先用 Cartesian grid 划成小方格，再沿一致对角线把每格分成两个三角形。三角形邻接图适合生成稀疏耦合，而顶点坐标与仿射映射决定梯度、面积和积分权重。保持同一邻接图而移动一个顶点，离散图没有变化，单元角度和计算常数却会改变。

退化、局部加密与几何边界

三角形顶点若为 $(0,0),(1,0),(1,\varepsilon)$ ，则 $h_K$ 始终约为 $1$ ，内切圆半径却随 $\varepsilon\to0$ 趋于零，于是 $h_K/\rho_K\to\infty$ 。它的拓扑仍是普通三边形，却不是质量一致的网格族；高纵横比会放大插值常数，也常使离散矩阵条件数恶化。

边界层解在靠近边界的窄区域内变化迅速，可以让该处 $h_K$ 远小于层宽，并在远离边界后逐级放大单元。这样的网格通常不是准均匀网格，但只要尺度过渡不制造退化单元，仍可保持形状正则。反过来，只增加边界附近节点而不检查角度，可能用更多自由度换来一排瘦长坏单元。

结构网格、局部加密非结构网格与单元形状质量 — 左侧规则网格具有重复拓扑；中间非结构三角网格只在局部减小单元尺度；右侧对比形状正则三角形与内切圆半径很小的瘦长单元。

对圆形区域使用直边多边形时， $\Omega_h\ne\Omega$ ；即使单元内部离散公式很高阶，边界位置和法向的近似仍可能主导总误差。几何验证至少应检查覆盖与重叠、单元方向、最小体积、非流形连接、边界标签和周期配对。发现翻转单元或缺失边界面时应停止装配，而不是让后续线性求解器替几何错误背锅。

推论与应用

方法接口与复现实验

有限差分公式在规则节点邻域上给出导数权重；偏微分方程有限差分法把这些局部关系铺满网格。有限体积法更关心单元体积与公共面，有限元法则通过 reference element、物理映射和局部自由度建立离散空间。三类方法共享网格几何，却不会共享完全相同的未知量语义。

网格收敛实验应报告 $h=\max h_K$ 、最小和典型局部尺度、单元数、自由度数、形状质量、边界表示以及加密规则。仅写“使用更密网格”无法判断误差下降来自尺度缩小、几何改进还是自由度布局改变，也无法复现离散化误差随网格族变化的结论。

参考资料

Susanne C. Brenner and L. Ridgway Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3rd ed., Springer, 2008, mesh regularity and affine-equivalent elements.
Philippe G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems, SIAM Classics in Applied Mathematics, 2002, finite-element subdivisions and reference mappings.
Alexandre Ern and Jean-Luc Guermond, Theory and Practice of Finite Elements, Springer, 2004, Chs. 1–2.

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网格剖分与几何尺度 ​

Structured grid 与 unstructured mesh ​

参考元、质量与边界几何 ​

网格不等于离散函数空间 ​

一维计数与二维邻接 ​

退化、局部加密与几何边界 ​

方法接口与复现实验 ​

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