有限差分公式 | Codeboy's Blog

形式陈述

给定函数 $f$ 、求导位置 $x$ 、节点偏移和步长，有限差分公式以有限个函数值的线性组合近似 $m$ 阶导数 $f^{(m)}(x)$ 。在均匀网格上，最常见的一阶单侧公式为

D_h^+f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \qquad D_h^-f(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}.

若 $f$ 在相应邻域内三阶连续可微，由Taylor 定理可得

D_h^+f(x)=f'(x)+\frac h2f''(x)+O(h^2), \qquad D_h^-f(x)=f'(x)-\frac h2f''(x)+O(h^2).

二者的截断误差均为 $O(h)$ ，但主误差项符号相反。若 $f$ 在邻域内五阶连续可微，将它们对称组合得到中心差分

D_h^0f(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} =f'(x)+\frac{h^2}{6}f^{(3)}(x)+O(h^4),

所以中心一阶差分具有二阶截断精度。若 $f$ 在邻域内六阶连续可微，对二阶导数使用相同三点可得

\delta_h^2f(x) =\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} =f''(x)+\frac{h^2}{12}f^{(4)}(x)+O(h^4).

一般 stencil 写成

\mathcal D_hf(x) =\frac1{h^m}\sum_{j=0}^{s}c_jf(x+\alpha_jh),

其中偏移 $\alpha_j$ 互异。要让它对次数不超过 $r$ 的多项式复制 $m$ 阶导数，权重必须满足矩条件

\sum_{j=0}^{s}c_j\alpha_j^\ell = \begin{cases} m!,&\ell=m,\\ 0,&0\le\ell\le r,\ \ell\ne m. \end{cases}

第一个未被消去的 Taylor 矩决定形式截断阶。权重可以直接由上述 Taylor 矩匹配求出，也可由插值多项式在 $x$ 处求导得到；推导时应先对插值表示求导并独立控制余项，不能把含有未知 $\xi_x$ 的 Lagrange 余项当作普通显函数直接微分。

非均匀节点必须使用实际偏移 $x_j-x$ 重新求权重。把单一 $h$ 的均匀网格系数套到不等距数据上，通常连低阶矩条件都不满足。权重预计算后，一次 $s+1$ 点差分需要 $s+1$ 次函数取值、 $O(s)$ 次算术和 $O(s)$ 个局部数据；批量网格计算可复用相邻值。

直觉

差分公式用邻近函数值拼出局部斜率。向前和向后观察都会混入曲率造成的一阶偏差；从两侧以相同距离观察时，这两项符号相反，平均后彼此抵消，中心公式因而多获得一阶精度。提升阶数的本质不是增加术语，而是选择权重，使更多低阶 Taylor 矩精确匹配。

节点越多，能够消去的误差项通常越多，但线性组合的系数也可能变大。大权重会放大数据噪声和函数求值误差；更宽的 stencil 还会跨越边界、间断或变化尺度。形式阶数只是精确算术下的局部结论，不是总误差排名。

例子与边界

对三次多项式 $f(x)=x^3$ ，中心差分满足

\frac{(x+h)^3-(x-h)^3}{2h} =3x^2+h^2.

误差恰为 $h^2$ ，直接显示对称性消除了本来会出现的 $O(h)$ 项。若 $f$ 是二次多项式，三阶导数为零，中心差分则精确给出一阶导数；这说明“二阶公式”指对一般光滑函数的首个遗漏阶，不排除特殊函数上更准确。

在区间左端 $a$ ， $f(a-h)$ 可能没有定义或不属于数据域，中心公式无法使用。此时需采用前向 stencil，并通过更多右侧节点恢复所需阶数。边界闭合与内部公式是两个不同设计问题，不能靠越界取值或复制端点蒙混过去。

若 $f$ 含跳跃、尖点或高频噪声，Taylor 光滑性假设失效。即使公式仍能输出一个数字，也不再拥有声明的截断阶。对非均匀节点，节点靠得过近还会使求权重的矩系统病态，产生很大的正负系数。

有限精度中，差分分子会发生相近量相减。因此减小 $h$ 虽能降低本页分析的截断项，却可能增大舍入项；两者的平衡由数值微分中的截断—舍入权衡单独分析。

推论与应用

有限差分是离散化误差框架中的局部算子构造。数值微分把 stencil 用于单点导数估计，偏微分方程方法则在整张网格上组装这些局部关系；后者还必须处理边界条件、全局稳定性和离散系统求解，不能由局部截断阶直接推出全局收敛阶。

实现应记录节点、权重、目标导数阶和适用的光滑性条件。若数据点不足、节点重合、求值越界或权重系统病态，应报告公式无法可靠构造，而不是静默退化成另一条未说明的差分规则。

若用整张 Chebyshev 插值多项式代替局部低次插值，便得到Chebyshev 微分矩阵。它对有限多项式空间精确，但矩阵通常稠密，端点系数也会随阶数增长；常数与低次多项式测试可核验实现。

参考资料

NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.4: Differentiation, accessed 2026.
MIT OpenCourseWare, 18.330 Introduction to Numerical Analysis: Lecture Notes, finite differences, accessed 2026.
Bengt Fornberg, “Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily Spaced Grids,” Mathematics of Computation 51(184), 1988.