泰勒定理

前 $n$ 阶导数只固定函数在基点处的有限阶接触行为，余项负责衡量离开基点后尚未捕获的变化。不同余项形式服务于不同任务：Lagrange 形式便于用导数上界估计，积分形式便于推广和交换积分。定理始终是有限阶恒等式；只有能统一证明余项随阶数消失，才获得无穷级数表示。

$e^x$ 在 $0$ 的 Taylor 多项式余项可由导数界控制，从而证明级数展开。存在处处光滑但 Taylor 级数不能在邻域恢复函数的例子，例如

其在 $0$ 的所有阶导数为零，但 $x\ne 0$ 时函数非零。

对 $\sin x$ 在零点取四阶 Taylor 多项式；其四次项为零，所以仍是 $x-x^3/6$。五阶导数绝对值不超过一，因此

这给出可计算误差，而不仅是“近似相等”。函数 $e^{-1/x^2}$ 的平坦例子说明所有基点导数都为零仍不足以确定邻域函数值。

导数公理库导数Derivative函数增量比在步长趋零时的极限。提供展开系数，级数公理库级数Infinite series序列各项的有限部分和所组成的序列及其极限。与幂级数公理库解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。研究把有限展开推到无穷时是否收敛。多元 Taylor 定理公理库多元 Taylor 定理Multivariable Taylor theorem用各阶导数给出多元函数的局部多项式展开及余项控制。把系数推广为多线性形式。数值分析中，离散缺陷公理库离散化误差与截断误差Discretization error · Truncation error区分连续问题的离散缺陷与离散解的全局误差，并说明一致性为何不能单独保证收敛。用余项衡量连续问题代入离散规则后的偏差，有限差分公式公理库有限差分公式Finite-difference formulas · Finite-difference stencil用邻近节点的函数值近似导数，并以矩条件推导差分权重、截断阶和边界公式。用矩匹配消去低阶项，Euler 方法公理库Euler 方法Euler method · Forward Euler · Backward Euler以前向与后向 Euler 建立一阶时间步进基线，并用局部缺陷、全局误差和测试方程放大因子揭示适用边界。则由解轨道的一阶展开得到一步误差；三者都依赖对余项而非仅对多项式主部的控制。