形式陈述

设 $f$$f$ 在包含 $a$$a$ 与 $x$$x$ 的区间上具有连续的 $n$$n$ 阶导数，并在两点之间具有 $(n+1)$$(n+1)$ 阶导数。则存在介于 $a$$a$ 与 $x$$x$ 之间的 $\xi$$\xi$，使

$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. $$$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}.$$

最后一项是 Lagrange 余项。其他假设组合可给积分余项或 Peano 余项，使用时应匹配具体版本。

直觉

Taylor 多项式收集函数在基点的有限阶局部信息；余项精确记录这些信息不足以决定远处函数值的部分。定理是“有限展开加误差”，不是自动等同于无限幂级数。

例子与边界

$e^x$$e^x$ 在 $0$$0$ 的 Taylor 多项式余项可由导数界控制，从而证明级数展开。存在处处光滑但 Taylor 级数不能在邻域恢复函数的例子，例如

$$ f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2},&x\ne0,\\0,&x=0, \end{cases} $$$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x^2},& x\ne 0,\\ 0,& x=0,\end{array}$$

其在 $0$$0$ 的所有阶导数为零，但 $x\ne0$$x\ne 0$ 时函数非零。

推论与应用

Taylor 定理用于数值近似、局部误差阶、极限计算和微分方程。要从有限阶公式推出无穷级数表示，必须另外证明余项随 $n\to\infty$$n\to \mathrm{\infty }$ 趋零。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 6。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 5。