泰勒定理

Taylor 多项式在基点 $a$ 处与原函数的前 $n$ 阶导数一致。常数项对齐高度，一阶项对齐斜率，二阶项继续捕捉弯曲，余项记录这些信息尚未解释的变化。

这里有两个不同的极限过程：固定阶数并令 $x$ 靠近 $a$，得到局部近似；固定 $x$ 并增加阶数，则在研究整个 Taylor 级数能否恢复函数。余项公式为这两个问题分别提供分析的起点。

对 $e^x$ 在零点的展开，$0$ 与 $x$ 之间的各阶导数绝对值都不超过 $e^{|x|}$，所以

对每个固定 $x$ 成立，得到 $e^x=\sum _{k\ge 0}{x}^k/k!$。

另一个光滑函数展示了不同的情形：

它在零点的所有阶导数都为零，因此各阶 Taylor 多项式恒为零；但对固定的 $x\ne 0$，余项一直等于正数 $e^{-1/x^2}$。固定阶数下靠近零点的局部近似，与增加阶数后的级数表示，在这里给出了不同结果。

对 $\sin x$ 在零点取四阶 Taylor 多项式；其四次项为零，所以仍是 $x-x^3/6$。五阶导数绝对值不超过一，因此

例如 $x=0.2$ 时，$x-x^3/6=0.198666\dots$，绝对误差不超过 ${0.2}^5/120=2.666\dots \times {10}^{-6}$。这个上界可直接用于选择近似精度。

导数理路导数Derivative函数增量比在步长趋零时的极限。提供展开系数，级数理路级数Infinite series序列各项的有限部分和所组成的序列及其极限。与幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。研究把有限展开推到无穷时是否收敛。多元 Taylor 定理理路多元 Taylor 定理Multivariable Taylor theorem用各阶导数给出多元函数的局部多项式展开及余项控制。把系数推广为多线性形式。数值分析中，离散缺陷理路离散化误差与截断误差Discretization error · Truncation error区分连续问题的离散缺陷与离散解的全局误差，并说明一致性为何不能单独保证收敛。用余项衡量连续问题代入离散规则后的偏差，有限差分公式理路有限差分公式Finite-difference formulas · Finite-difference stencil用邻近节点的函数值近似导数，并以矩条件推导差分权重、截断阶和边界公式。用矩匹配消去低阶项，Euler 方法理路Euler 方法Euler method · Forward Euler · Backward Euler以前向与后向 Euler 建立一阶时间步进基线，并用局部缺陷、全局误差和测试方程放大因子揭示适用边界。则由解轨道的一阶展开得到一步误差；余项分别量化了离散规则、导数近似和单步推进的误差。