级数 | Codeboy's Blog

形式陈述

给定实数或复数序列 $(a_n)_{n\ge0}$ ，级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n$ 指部分和序列

s_N=\sum_{n=0}^Na_n.

若部分和按序列收敛的意义满足 $s_N\to s$ ，则称级数收敛并写 $\sum a_n=s$ ；若 $\sum|a_n|$ 收敛，则称绝对收敛。绝对收敛推出收敛，并保证任意置换保持和；条件收敛不具备这种无条件稳定性。

保持原顺序的分组需要精确区分方向。若

0=n_0<n_1<n_2<\cdots,\qquad n_k\to\infty,

并令

b_k=\sum_{j=n_k}^{n_{k+1}-1}a_j,

则原级数收敛时， $\sum b_k$ 收敛到同一值，因为它的部分和是原部分和的子序列。反过来，只有分组级数收敛并不能保证原级数收敛；还需控制每个块内部的部分和振荡。

直觉

无穷和的含义全部由有限部分和承担。项趋零只说明新加入的单项变小，却不保证累计尾部可忽略。绝对收敛消除了正负抵消的脆弱性；条件收敛则可能依赖项的顺序。

分组和重排是两种不同操作。分组保留项的原顺序，只挑出某些块端点观察部分和；重排则用置换改变到达顺序。前者从已知收敛级数出发总安全，后者对条件收敛级数可能改变和甚至导致发散。

例子与边界

当 $|r|<1$ 时，几何级数满足 $\sum_{n\ge0}r^n=(1-r)^{-1}$ 。望远镜级数

\sum_{n=1}^N\frac1{n(n+1)} =1-\frac1{N+1}

收敛到 $1$ 。调和级数的项虽趋零，但按 $[2^k,2^{k+1})$ 分块，每块和至少为 $1/2$ ，所以仍发散。

反向分组失败的最短例子是 $1-1+1-1+\cdots$ 。按相邻两项分块得到 $0+0+\cdots$ ，分组级数收敛到 $0$ ；原部分和却在 $1,0$ 间振荡。交错调和级数收敛但不绝对收敛，Riemann 重排定理说明适当置换可把它改成任意给定实数，甚至使其发散。

推论与应用

绝对收敛提供换序和双重求和的稳定条件，无条件收敛在有限维实、复空间中与绝对收敛等价。幂级数把系数级数变成函数；普通生成函数则应在形式幂级数环中解释，不以解析收敛为定义前提。积分、概率归一化和数值截断都依赖尾项估计，而不只是单项趋零。

参考资料

Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015, Chapter 2.
Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976, Chapter 3.