形式陈述

给定实数或复数序列 $(a_n)_{n\ge0}$$(a_n{)}_{n\ge 0}$，级数

$$ \sum_{n=0}^{\infty}a_n $$$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$

指其部分和序列

$$ s_N=\sum_{n=0}^{N}a_n. $$$$s_N=\sum _{n=0}^N{a}_n.$$

若 $(s_N)$$(s_N)$ 收敛于 $s$$s$，则称级数收敛并写 $\sum a_n=s$$\sum a_n=s$；否则发散。若 $\sum|a_n|$$\sum |a_n|$ 收敛，则称绝对收敛；绝对收敛推出收敛，逆命题不成立。

直觉

无穷相加不是一次完成的运算，而是考察有限和随着截断位置后移是否趋于稳定。级数的值是部分和的极限，而不是一个实际“最后一项”。

例子与边界

几何级数在 $|r|<1$$|r|<1$ 时满足 $\sum_{n=0}^\infty r^n=(1-r)^{-1}$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^n=(1-r{)}^{-1}$。交错调和级数 $\sum(-1)^{n+1}/n$$\sum (-1{)}^{n+1}/n$ 收敛但不绝对收敛。必要条件 $a_n\to0$$a_n\to 0$ 不充分：调和级数 $\sum1/n$$\sum 1/n$ 发散。

推论与应用

级数用于函数展开、数值逼近、概率归一化与微分方程。条件收敛级数重排可能改变和甚至导致发散；绝对收敛时任意重排保持和，这一区别在交换极限和求和时关键。

参考资料

• Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd ed., Springer, 2015，Ch. 2。
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976，Ch. 3。