级数

无穷和的含义全部由有限部分和承担。项趋零只说明新加入的单项变小，却不保证累计尾部可忽略。绝对收敛消除了正负抵消的脆弱性；条件收敛则可能依赖项的顺序。

分组保留项的原顺序，观察的是部分和序列的一条子列。重排则改变加法的顺序：绝对收敛级数在任意重排下都保持原和，条件收敛级数的和则可能随顺序改变。

收敛级数的尾部必须满足 Cauchy 条件：对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，使 $q\ge p\ge N$ 时 $|\sum _{n=p}^q{a}_n|<\epsilon$。取 $p=q$ 只得到必要条件 $a_n\to 0$，而一般尾段同时含很多项；调和级数正是单项很小、长尾段仍能积累出固定总量的例子。

当 $|r|<1$ 时，有限恒等式 $(1-r)\sum _{n=0}^N{r}^n=1-r^{N+1}$ 给出几何级数之和 $(1-r{)}^{-1}$。截断到 $r^N$ 的精确余项是 $r^{N+1}/(1-r)$；例如 $r=1/2$ 时，保留到 $N=9$ 后，误差为 $2^{-9}=1/512$。$r=1$ 时部分和线性增大，$r=-1$ 时来回振荡，这两个边界点都不收敛。

望远镜级数

收敛到 $1$。调和级数的项虽趋零，但按 $[2^k,2^{k+1})$ 分块，每块和至少为 $1/2$，所以仍发散。

分组可能掩盖振荡，例如 $1-1+1-1+\cdots$。按相邻两项分块得到 $0+0+\cdots$，分组级数收敛到 $0$；原部分和却在 $1,0$ 间振荡。

记交错调和级数 $1-1/2+1/3-1/4+\cdots$ 的前 $n$ 项和为 $H_n^{\mathrm{alt}}$。偶数部分和递增，奇数部分和递减，且 $0\le H_{2n}^{\mathrm{alt}}\le H_{2n+1}^{\mathrm{alt}}\le 1$。由单调有界序列定理理路单调有界序列收敛定理Monotone convergence theorem for sequences每个单调且有界的实数序列都收敛。，两条子列各自收敛；两者之差 $1/(2n+1)\to 0$，所以极限相同，原级数收敛；取绝对值后变成发散的调和级数，所以它不绝对收敛。由于各项绝对值单调递减，真实的和始终夹在相邻两个部分和之间，截断误差因而不超过下一项的大小。Riemann 重排定理说明适当置换可把它改成任意给定实数，甚至使其发散。

绝对收敛理路级数绝对收敛Absolute convergence of series若各项绝对值组成的级数收敛，则原级数绝对收敛并必收敛。允许调整求和顺序；例如双重级数满足 $\sum _{m,n}|a_{m,n}|<\mathrm{\infty }$ 时，逐行与逐列求和得到同一结果。在有限维实、复空间中，无条件收敛与绝对收敛等价。

幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。通过代入变量得到函数，收敛区域由系数决定。普通生成函数理路普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。也使用级数符号，其代数运算按各次系数定义；当需要代入数值时，再研究解析收敛。数值截断则用尾和估计有限计算与整个级数之差。