普通生成函数

普通生成函数把索引 $n$ 变成幂次，使序列的平移、卷积和递推分别变成乘 $x$、函数乘法和代数方程。这里首先是形式幂级数：只比较每个系数，未必关心数值 $x$ 处是否收敛。组合中，一个因子常代表独立选择一种部件数量，乘积则自动汇总总大小。

常数序列 $a_n=1$ 的 OGF 满足形式恒等式

因为 $(1-x)A(x)=1$ 在系数层面成立。数值解释只在 $|x|<1$ 收敛；形式恒等式则在 $R[[x]]$ 中无需这一条件。普通生成函数用权重 $x^n$ 并产生普通卷积，指数生成函数用 $x^n/n!$ 并把标号分配的二项式系数带入乘法，两者编码的组合结构不同。

Fibonacci 递推 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ 在系数层面变成

于是 $F(x)=x/(1-x-x^2)$。这里先得到的是形式幂级数恒等式；只有在需要代入具体数值时，才另外讨论收敛半径。

序列公理库序列Sequence以自然数为定义域的函数。嵌入形式幂级数公理库形式幂级数Formal power series以系数序列为本体并按 Cauchy 卷积运算、不预设解析收敛的无穷级数。后，线性递推对应有理生成函数，Catalan 数公理库Catalan 数Catalan number计数正确括号串、凸多边形三角剖分等结构的一族整数。对应代数生成函数。整数分拆用无限乘积编码部件重数；标号结构通常改用指数生成函数公理库指数生成函数Exponential generating function · EGF以 a_n x^n/n! 编码带标号组合对象计数序列的形式幂级数。，因为普通卷积不包含标号分配的二项式因子。当目标从形式计数转向渐近估计时，才进一步链接解析幂级数，研究收敛半径与复平面奇点如何控制系数增长。