形式幂级数

形式幂级数不是“尚未检查收敛的函数”，而是一张无限系数表。符号 $x$ 只记录次数，使平移、卷积和递推可以用代数运算表达。因为每次只询问某个固定次数的系数，乘法从来只汇总有限多个贡献；这正是它无需极限也能可靠运算的原因。

在任意交换含幺环上，$(1-x)(1+x+x^2+\cdots )=1$，所以 $(1-x{)}^{-1}=\sum _{n\ge 0}{x}^n$ 是形式恒等式，不需要 $|x|<1$。另一方面，$A(B(x))$ 的复合并非总能定义：通常要求内层 $B$ 的常数项为零，使每个输出系数只接收有限多个外层项；若外层本来是多项式，则不受这一限制。

形式微分按 $A^{\prime }(x)=\sum _{n\ge 1}n{a}_n{x}^{n-1}$ 定义，并满足线性与 Leibniz 法则，但它是代数运算，不自动赋予级数数值函数或解析导数。只有系数位于赋范域并另行证明收敛后，才可把同一表达式解释为解析幂级数。

普通生成函数公理库普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。利用 $R[[x]]$ 编码序列；标号对象的乘积若需要分配标签，则常改用指数生成函数公理库指数生成函数Exponential generating function · EGF以 a_n x^n/n! 编码带标号组合对象计数序列的形式幂级数。。线性递推常转化为有理形式级数，形式对数、指数、反演与复合也可在相应常数项和系数环条件下定义。解析组合学是在这些形式恒等式建立以后，再加入收敛半径与复奇点来估计系数；解析条件是后续结构，不会反向改变系数序列的代数定义。