形式幂级数

形式幂级数是一张无限系数表，不预先表示数值函数。乘积中次数为 $n$ 的项只能由次数分别为 $k$ 与 $n-k$ 的两项产生；卷积公式就是把这些有限种搭配加起来。

计算到 $x^N$ 为止时，只需保留输入的前 $N+1$ 项；更高次数不会影响已经求出的低次系数。因此无限记号仍可用于有限精度的准确代数计算，结果等价于在截断商环理路商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。 $R[x]/(x^{N+1})$ 中运算。

可逆性的递推计算 ​

在 $\mathbb{Z}[[x]]$ 中求 $(1-x-x^2{)}^{-1}$，递推给出 $b_0=1$、$b_1=1$，此后 $b_n=b_{n-1}+b_{n-2}$，所以

例如 $x^4$ 的乘积系数为 $5-3-2=0$。几何级数也可这样验证：$(1-x)(1+x+x^2+\cdots )$ 的常数项为 $1$，其余每项的系数都是 $1-1=0$。

$2-x$ 在整数系数环中不可逆，因为常数系数方程 $2b_0=1$ 无整数解。改到有理数系数环后，$2$ 成为单位，逆元为

复合与微分的条件 ​

若 $B(0)=0$，则 $B(x{)}^k$ 中次数小于 $k$ 的系数全为零，所以 $A(B(x))=\sum _{k\ge 0}{a}_{k}B(x{)}^k$ 的每个系数仍只有有限项贡献。外层 $A$ 是多项式时，也能直接代入任意 $B$。若把 $B=1+x$ 代进 $A=\sum _{k\ge 0}{x}^k$，常数项却要求计算 $1+1+\cdots$，超出了环的有限次加法；零常数项条件正是用来避免这种无限累加。

形式微分定义为 $A^{\prime }=\sum _{n\ge 1}n{a}_n{x}^{n-1}$，满足线性与乘积法则。在特征 $p$ 的域上，$(x^p{)}^{\prime }=0$；更一般地，导数为零的级数恰好只含 $x^{mp}$ 项，因为其余项的次数在域中都是非零可逆元。系数环为 $\mathbb{Q}$-代数时，还能逐项积分：$\sum a_n{x}^n$ 的零常数项原函数为 $\sum a_n{x}^{n+1}/(n+1)$。

普通生成函数理路普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。把计数递推编码成系数方程，上面的逆级数便是一个完整例子。指数生成函数理路指数生成函数Exponential generating function · EGF以 a_n x^n/n! 编码带标号组合对象计数序列的形式幂级数。还把阶乘放入分母，用于表达标号分配，其系数环必须允许这些除法。

实数系数的形式级数 $\sum _{n\ge 0}n!x^n$ 有完整的系数表，但代入任意非零实数 $x$ 后，项的绝对值之比为 $(n+1)|x|$，最终大于 $1$，所以级数发散。相比之下，$\sum x^n$ 在 $|x|<1$ 收敛并表示函数 $1/(1-x)$。解析幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。进一步研究数值代入后的收敛范围；解析组合学利用这种收敛信息，进而用奇点的位置与形状估计系数的增长。

Lagrange 反演理路Lagrange 反演定理Lagrange inversion theorem · Lagrange–Bürmann formula由系数递推建立隐式形式解，再证明留数换元与分部恒等式，从 T=zφ(T) 提取复合系数，并核对 Catalan 与标号根树。进一步处理复合逆：零常数项级数的线性系数为单位时，可逐阶构造唯一双侧复合逆。该页证明形式留数在这种换元下不变，再从 $T=z\varphi (T)$ 提取复合系数；环允许零因子时，“非零线性系数”仍不足以代替“单位线性系数”。这与本页由常数项控制的乘法可逆性是两种不同问题。

加上 p-adic 尾条件，才得到闭球函数 ​

若系数改在 ${\mathbb{Q}}_p$ 中，形式级数依旧只是一张系数表。额外要求 $|a_n{|}_p\to 0$ 后，对全部 $x\in {\mathbb{Z}}_p$，尾和有统一估计

完备性于是把它变成闭单位球上的函数，并允许用同一个尾界控制所有输入。反过来，若要求在整个闭球上收敛，代入 $x=1$ 已迫使 $a_n\to 0$。这是附加了赋值拓扑后的求值合同，不能从形式卷积定义自动得到。

例如 $1+X+X^2+\cdots$ 在形式环中有逆元 $1-X$，却不能在p-adic闭球的点1求值；$X-1+\sum _{n\ge 2}{p}^{n^2}{X}^n$ 则有可证的统一尾界。Strassmann定理理路Strassmann 定理与闭球零点界Strassmann's theorem · Strassmann theorem · 斯特拉斯曼定理对系数趋零的p-adic幂级数，以最后一个最大绝对值系数的指标界定闭单位球中的零点数，并给除根、缩放与尾界证书。为后一类级数给出有限零点上界，并证明除去一个闭球内的根后，全部商系数仍然趋零。