Lagrange 反演定理

隐式方程把一个 $T$-对象描述成一个外层原子和一份由若干 $T$-对象组成的局部配置 $\varphi (T)$。直接递归展开会反复嵌套；反演公式却把“求第 $n$ 个 $T$ 系数”改写成在显式幂 $\varphi (u{)}^n$ 中取一次系数。因子 $1/n$ 可理解为在一棵带根循环展开中选定根的校正，也可从形式留数换元的 Jacobian 得到。

证明机制很短但不只是代入。将系数写成形式留数，使用 $z=u/\varphi (u)$ 换元：

整理导数并作一次形式分部，便产生 $H^{\prime }(u)\varphi (u{)}^n/n$。条件 $T(0)=0$ 保证复合有定义，$\varphi (0)$ 可逆保证 $u/\varphi (u)$ 具有可逆线性项、可以作形式反演；当 $R$ 是域时，这等价于 $\varphi (0)\ne 0$。

标号根树满足经典规格

这里 $T(z)=\sum _{n\ge 1}{t}_n{z}^n/n!$，而 $\varphi (u)=e^u$。因此

于是 $t_n=n^{n-1}$，正是 $n$ 个标号顶点上的根树数。以 $n=3$ 检查：三棵无根标号树各可选三个根，共 $9=3^2$ 棵，和公式一致。这里最后乘回 $n!$ 是 EGF 归一化不可省略的一步。

若 $k=0$，$T^0=1$ 的正次系数全为零，不能把 $k/n$ 形式当作提供常数项；一般复合公式会由 $H^{\prime }=0$ 正确给出 $n\ge 1$ 的零。若 $\varphi (0)=0$，方程可能只有零解或不再具备所需可逆线性项。若隐式方程不是 $T=z\varphi (T)$ 形，也应先合法变形或使用更一般的多元反演，不能硬套系数下标。

解析版本还需区分局部解与全局分支。反演保证零点附近的系数，不说明解析延拓能越过哪些分支点，也不直接给出系数渐近；后者要研究隐式解的主导奇点。

Lagrange 反演把递归组合规格转成二项式、指数式或多项式幂的显式系数。平面树、Cayley 根树、停车函数及许多路径类都由此得到闭式。若 $T=z(1+T{)}^2$，公式立即给出

即 Catalan 序列的移位形式。

多变量对应是 Good 的多元 Lagrange 反演；物种版本则解释标号树状结构的对称性。精确系数取得后，可用 Stirling 公式或奇点分析研究增长。反演负责解开隐式递归，解析方法负责判断哪个复奇点主导大 $n$ 行为，两项任务不能互相替代。